Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30237 / 19971
↖ ↑ ↗
← N 57.317624°
W 13.903198°		 ← 329.85 m → N 57.317624°
W 13.897705°		 →
↑
329.83 m
↓
↑
329.83 m
↓
N 57.314657°
W 13.903198°		 ← 329.88 m →
108 797 m²		 N 57.314657°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461387634277344 y=0.304740905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461387634277344 × 216)
    floor (0.461387634277344 × 65536)
    floor (30237.5)     		tx = 30237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304740905761719 × 216)
    floor (0.304740905761719 × 65536)
    floor (19971.5)     		ty = 19971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30237 / 19971 ti = "16/30237/19971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30237/19971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30237 ÷ 216
    30237 ÷ 65536     		x = 0.461380004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19971 ÷ 216
    19971 ÷ 65536     		y = 0.304733276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461380004882812 × 2 - 1) × π
    -0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304733276367188 × 2 - 1) × π
    0.390533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22689700887572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24265659} λ = -0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22689700887572))-π/2
    2×atan(3.41062994512797)-π/2
    2×1.28558878972409-π/2
    2.57117757944819-1.57079632675     		φ = 1.00038125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00038125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.317624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30237 KachelY 19971 -0.24265659 1.00038125 -13.903198 57.317624
    Oben rechts KachelX + 1 30238 KachelY 19971 -0.24256071 1.00038125 -13.897705 57.317624
    Unten links KachelX 30237 KachelY + 1 19972 -0.24265659 1.00032948 -13.903198 57.314657
    Unten rechts KachelX + 1 30238 KachelY + 1 19972 -0.24256071 1.00032948 -13.897705 57.314657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00038125-1.00032948) × R
    5.17700000000065e-05 × 6371000     		dl = 329.826670000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00038125-1.00032948) × R
    5.17700000000065e-05 × 6371000     		dr = 329.826670000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24265659--0.24256071) × cos(1.00038125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539981455796062 × 6371000     		do = 329.848471445554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24265659--0.24256071) × cos(1.00032948) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.540025028686264 × 6371000     		du = 329.875088010021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00038125)-sin(1.00032948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539981455796062-0.540025028686264)×R²
    abs(-0.24256071--0.24265659)×4.35728902022925e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.35728902022925e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.35728902022925e-05×40589641000000     		ar = 108797.212392295m²