Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30235 / 41439
↖ ↑ ↗
← S 42.936318°
W 13.914184°		 ← 447.16 m → S 42.936318°
W 13.908691°		 →
↑
447.18 m
↓
↑
447.18 m
↓
S 42.940339°
W 13.914184°		 ← 447.14 m →
199 957 m²		 S 42.940339°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461357116699219 y=0.632316589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461357116699219 × 216)
    floor (0.461357116699219 × 65536)
    floor (30235.5)     		tx = 30235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632316589355469 × 216)
    floor (0.632316589355469 × 65536)
    floor (41439.5)     		ty = 41439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30235 / 41439 ti = "16/30235/41439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30235/41439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30235 ÷ 216
    30235 ÷ 65536     		x = 0.461349487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41439 ÷ 216
    41439 ÷ 65536     		y = 0.632308959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461349487304688 × 2 - 1) × π
    -0.077301025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24284833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632308959960938 × 2 - 1) × π
    -0.264617919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831321713211014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24284833} λ = -0.24284833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831321713211014))-π/2
    2×atan(0.435473334924282)-π/2
    2×0.410708106629375-π/2
    0.82141621325875-1.57079632675     		φ = -0.74938011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24284833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.914184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74938011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.936318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30235 KachelY 41439 -0.24284833 -0.74938011 -13.914184 -42.936318
    Oben rechts KachelX + 1 30236 KachelY 41439 -0.24275246 -0.74938011 -13.908691 -42.936318
    Unten links KachelX 30235 KachelY + 1 41440 -0.24284833 -0.74945030 -13.914184 -42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 30236 KachelY + 1 41440 -0.24275246 -0.74945030 -13.908691 -42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74938011--0.74945030) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dl = 447.180489999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74938011--0.74945030) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dr = 447.180489999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24284833--0.24275246) × cos(-0.74938011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732111269317011 × 6371000     		do = 447.164609577997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24284833--0.24275246) × cos(-0.74945030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 447.135405259838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74938011)-sin(-0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732111269317011-0.732063455134092)×R²
    abs(-0.24275246--0.24284833)×4.78141829187706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×40589641000000     		ar = 199956.759503057m²