Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30235 / 17242
↖ ↑ ↗
← N 64.562600°
W 13.914184°		 ← 262.35 m → N 64.562600°
W 13.908691°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 64.560241°
W 13.914184°		 ← 262.37 m →
68 832 m²		 N 64.560241°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461357116699219 y=0.263099670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461357116699219 × 216)
    floor (0.461357116699219 × 65536)
    floor (30235.5)     		tx = 30235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263099670410156 × 216)
    floor (0.263099670410156 × 65536)
    floor (17242.5)     		ty = 17242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30235 / 17242 ti = "16/30235/17242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30235/17242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30235 ÷ 216
    30235 ÷ 65536     		x = 0.461349487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17242 ÷ 216
    17242 ÷ 65536     		y = 0.263092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461349487304688 × 2 - 1) × π
    -0.077301025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24284833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263092041015625 × 2 - 1) × π
    0.47381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48853660700198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24284833} λ = -0.24284833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48853660700198))-π/2
    2×atan(4.43060705323524)-π/2
    2×1.34881313974371-π/2
    2.69762627948742-1.57079632675     		φ = 1.12682995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24284833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.914184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12682995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.562600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30235 KachelY 17242 -0.24284833 1.12682995 -13.914184 64.562600
    Oben rechts KachelX + 1 30236 KachelY 17242 -0.24275246 1.12682995 -13.908691 64.562600
    Unten links KachelX 30235 KachelY + 1 17243 -0.24284833 1.12678877 -13.914184 64.560241
    Unten rechts KachelX + 1 30236 KachelY + 1 17243 -0.24275246 1.12678877 -13.908691 64.560241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12682995-1.12678877) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12682995-1.12678877) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24284833--0.24275246) × cos(1.12682995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429524691192493 × 6371000     		do = 262.348428293396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24284833--0.24275246) × cos(1.12678877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429561878637901 × 6371000     		du = 262.371141930249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12682995)-sin(1.12678877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429524691192493-0.429561878637901)×R²
    abs(-0.24275246--0.24284833)×3.71874454084264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71874454084264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71874454084264e-05×40589641000000     		ar = 68832.1307929388m²