Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30234 / 19970
↖ ↑ ↗
← N 57.320590°
W 13.919678°		 ← 329.82 m → N 57.320590°
W 13.914184°		 →
↑
329.83 m
↓
↑
329.83 m
↓
N 57.317624°
W 13.919678°		 ← 329.85 m →
108 788 m²		 N 57.317624°
W 13.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461341857910156 y=0.304725646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461341857910156 × 216)
    floor (0.461341857910156 × 65536)
    floor (30234.5)     		tx = 30234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304725646972656 × 216)
    floor (0.304725646972656 × 65536)
    floor (19970.5)     		ty = 19970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30234 / 19970 ti = "16/30234/19970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30234/19970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30234 ÷ 216
    30234 ÷ 65536     		x = 0.461334228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19970 ÷ 216
    19970 ÷ 65536     		y = 0.304718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.07733154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24294421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304718017578125 × 2 - 1) × π
    0.39056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22699288267496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24294421} λ = -0.24294421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22699288267496))-π/2
    2×atan(3.410956950854)-π/2
    2×1.28561467371645-π/2
    2.5712293474329-1.57079632675     		φ = 1.00043302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24294421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00043302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.320590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30234 KachelY 19970 -0.24294421 1.00043302 -13.919678 57.320590
    Oben rechts KachelX + 1 30235 KachelY 19970 -0.24284833 1.00043302 -13.914184 57.320590
    Unten links KachelX 30234 KachelY + 1 19971 -0.24294421 1.00038125 -13.919678 57.317624
    Unten rechts KachelX + 1 30235 KachelY + 1 19971 -0.24284833 1.00038125 -13.914184 57.317624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00043302-1.00038125) × R
    5.17700000000065e-05 × 6371000     		dl = 329.826670000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00043302-1.00038125) × R
    5.17700000000065e-05 × 6371000     		dr = 329.826670000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24294421--0.24284833) × cos(1.00043302) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539937881458637 × 6371000     		do = 329.821853997048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24294421--0.24284833) × cos(1.00038125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539981455796062 × 6371000     		du = 329.848471445554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00043302)-sin(1.00038125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539937881458637-0.539981455796062)×R²
    abs(-0.24284833--0.24294421)×4.35743374243014e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.35743374243014e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.35743374243014e-05×40589641000000     		ar = 108788.433393251m²