Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30232 / 7304
↖ ↑ ↗
← N 70.110485°
E152.138672°		 ← 415.61 m → N 70.110485°
E152.149658°		 →
↑
415.64 m
↓
↑
415.64 m
↓
N 70.106747°
E152.138672°		 ← 415.69 m →
172 762 m²		 N 70.106747°
E152.149658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922622680664062 y=0.222915649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922622680664062 × 215)
    floor (0.922622680664062 × 32768)
    floor (30232.5)     		tx = 30232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222915649414062 × 215)
    floor (0.222915649414062 × 32768)
    floor (7304.5)     		ty = 7304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30232 / 7304 ti = "15/30232/7304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30232/7304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30232 ÷ 215
    30232 ÷ 32768     		x = 0.922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7304 ÷ 215
    7304 ÷ 32768     		y = 0.222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922607421875 × 2 - 1) × π
    0.84521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65532074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222900390625 × 2 - 1) × π
    0.55419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74106819420044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65532074} λ = 2.65532074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74106819420044))-π/2
    2×atan(5.70343254347677)-π/2
    2×1.39722756318841-π/2
    2.79445512637683-1.57079632675     		φ = 1.22365880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65532074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22365880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.110485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30232 KachelY 7304 2.65532074 1.22365880 152.138672 70.110485
    Oben rechts KachelX + 1 30233 KachelY 7304 2.65551249 1.22365880 152.149658 70.110485
    Unten links KachelX 30232 KachelY + 1 7305 2.65532074 1.22359356 152.138672 70.106747
    Unten rechts KachelX + 1 30233 KachelY + 1 7305 2.65551249 1.22359356 152.149658 70.106747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22365880-1.22359356) × R
    6.52399999998554e-05 × 6371000     		dl = 415.644039999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22365880-1.22359356) × R
    6.52399999998554e-05 × 6371000     		dr = 415.644039999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65532074-2.65551249) × cos(1.22365880) × R
    0.000191749999999935 × 0.340207477098405 × 6371000     		do = 415.610807166747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65532074-2.65551249) × cos(1.22359356) × R
    0.000191749999999935 × 0.340268824834374 × 6371000     		du = 415.685751968905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22365880)-sin(1.22359356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340207477098405-0.340268824834374)×R²
    abs(2.65551249-2.65532074)×6.13477359688308e-05×R²
    0.000191749999999935×6.13477359688308e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.13477359688308e-05×40589641000000     		ar = 172761.730199983m²