Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30232 / 20095
↖ ↑ ↗
← N 56.947970°
W 13.930664°		 ← 333.12 m → N 56.947970°
W 13.925171°		 →
↑
333.14 m
↓
↑
333.14 m
↓
N 56.944974°
W 13.930664°		 ← 333.15 m →
110 981 m²		 N 56.944974°
W 13.925171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461311340332031 y=0.306632995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461311340332031 × 216)
    floor (0.461311340332031 × 65536)
    floor (30232.5)     		tx = 30232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306632995605469 × 216)
    floor (0.306632995605469 × 65536)
    floor (20095.5)     		ty = 20095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30232 / 20095 ti = "16/30232/20095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30232/20095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30232 ÷ 216
    30232 ÷ 65536     		x = 0.4613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20095 ÷ 216
    20095 ÷ 65536     		y = 0.306625366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306625366210938 × 2 - 1) × π
    0.386749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21500865776994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24313595} λ = -0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21500865776994))-π/2
    2×atan(3.37032324367857)-π/2
    2×1.28236295520216-π/2
    2.56472591040432-1.57079632675     		φ = 0.99392958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99392958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.947970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30232 KachelY 20095 -0.24313595 0.99392958 -13.930664 56.947970
    Oben rechts KachelX + 1 30233 KachelY 20095 -0.24304008 0.99392958 -13.925171 56.947970
    Unten links KachelX 30232 KachelY + 1 20096 -0.24313595 0.99387729 -13.930664 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 30233 KachelY + 1 20096 -0.24304008 0.99387729 -13.925171 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99392958-0.99387729) × R
    5.22899999999549e-05 × 6371000     		dl = 333.139589999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99392958-0.99387729) × R
    5.22899999999549e-05 × 6371000     		dr = 333.139589999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24313595--0.24304008) × cos(0.99392958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		do = 333.123895143518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24313595--0.24304008) × cos(0.99387729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 333.150664419167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99392958)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545400401752518-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.24304008--0.24313595)×4.38274585129461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38274585129461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38274585129461e-05×40589641000000     		ar = 110981.216825257m²