Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30231 / 20080
↖ ↑ ↗
← N 56.992883°
W 13.936157°		 ← 332.76 m → N 56.992883°
W 13.930664°		 →
↑
332.76 m
↓
↑
332.76 m
↓
N 56.989891°
W 13.936157°		 ← 332.78 m →
110 732 m²		 N 56.989891°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461296081542969 y=0.306404113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461296081542969 × 216)
    floor (0.461296081542969 × 65536)
    floor (30231.5)     		tx = 30231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306404113769531 × 216)
    floor (0.306404113769531 × 65536)
    floor (20080.5)     		ty = 20080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30231 / 20080 ti = "16/30231/20080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30231/20080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30231 ÷ 216
    30231 ÷ 65536     		x = 0.461288452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20080 ÷ 216
    20080 ÷ 65536     		y = 0.306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461288452148438 × 2 - 1) × π
    -0.077423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24323183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306396484375 × 2 - 1) × π
    0.38720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21644676475854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24323183} λ = -0.24323183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21644676475854))-π/2
    2×atan(3.37517361593033)-π/2
    2×1.28275489096004-π/2
    2.56550978192008-1.57079632675     		φ = 0.99471346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24323183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.936157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99471346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.992883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30231 KachelY 20080 -0.24323183 0.99471346 -13.936157 56.992883
    Oben rechts KachelX + 1 30232 KachelY 20080 -0.24313595 0.99471346 -13.930664 56.992883
    Unten links KachelX 30231 KachelY + 1 20081 -0.24323183 0.99466123 -13.936157 56.989891
    Unten rechts KachelX + 1 30232 KachelY + 1 20081 -0.24313595 0.99466123 -13.930664 56.989891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99471346-0.99466123) × R
    5.22300000000975e-05 × 6371000     		dl = 332.757330000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99471346-0.99466123) × R
    5.22300000000975e-05 × 6371000     		dr = 332.757330000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24323183--0.24313595) × cos(0.99471346) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544743205134429 × 6371000     		do = 332.75719307638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24323183--0.24313595) × cos(0.99466123) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544787004621369 × 6371000     		du = 332.783948057801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99471346)-sin(0.99466123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544743205134429-0.544787004621369)×R²
    abs(-0.24313595--0.24323183)×4.37994869407765e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.37994869407765e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.37994869407765e-05×40589641000000     		ar = 110731.846589836m²