Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30230 / 42031
↖ ↑ ↗
← S 45.271021°
W 13.941650°		 ← 429.84 m → S 45.271021°
W 13.936157°		 →
↑
429.85 m
↓
↑
429.85 m
↓
S 45.274887°
W 13.941650°		 ← 429.82 m →
184 763 m²		 S 45.274887°
W 13.936157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461280822753906 y=0.641349792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461280822753906 × 216)
    floor (0.461280822753906 × 65536)
    floor (30230.5)     		tx = 30230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641349792480469 × 216)
    floor (0.641349792480469 × 65536)
    floor (42031.5)     		ty = 42031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30230 / 42031 ti = "16/30230/42031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30230/42031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30230 ÷ 216
    30230 ÷ 65536     		x = 0.461273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42031 ÷ 216
    42031 ÷ 65536     		y = 0.641342163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.07745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24332770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641342163085938 × 2 - 1) × π
    -0.282684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.88807900236116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24332770} λ = -0.24332770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88807900236116))-π/2
    2×atan(0.411445379676662)-π/2
    2×0.390333979651725-π/2
    0.780667959303449-1.57079632675     		φ = -0.79012837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24332770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.941650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79012837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.271021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30230 KachelY 42031 -0.24332770 -0.79012837 -13.941650 -45.271021
    Oben rechts KachelX + 1 30231 KachelY 42031 -0.24323183 -0.79012837 -13.936157 -45.271021
    Unten links KachelX 30230 KachelY + 1 42032 -0.24332770 -0.79019584 -13.941650 -45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 30231 KachelY + 1 42032 -0.24323183 -0.79019584 -13.936157 -45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79012837--0.79019584) × R
    6.74699999999584e-05 × 6371000     		dl = 429.851369999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79012837--0.79019584) × R
    6.74699999999584e-05 × 6371000     		dr = 429.851369999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24332770--0.24323183) × cos(-0.79012837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703754121803623 × 6371000     		do = 429.844410684734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24332770--0.24323183) × cos(-0.79019584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 429.815132430809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79012837)-sin(-0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703754121803623-0.703706186570858)×R²
    abs(-0.24323183--0.24332770)×4.79352327652505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79352327652505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79352327652505e-05×40589641000000     		ar = 184762.916240909m²