Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3023 / 3758
↖ ↑ ↗
← N 14.689882°
W 47.153320°		 ← 4 726.77 m → N 14.689882°
W 47.109375°		 →
↑
4 727.22 m
↓
↑
4 727.22 m
↓
N 14.647369°
W 47.153320°		 ← 4 727.68 m →
22 346 627 m²		 N 14.647369°
W 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36907958984375 y=0.45880126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36907958984375 × 213)
    floor (0.36907958984375 × 8192)
    floor (3023.5)     		tx = 3023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45880126953125 × 213)
    floor (0.45880126953125 × 8192)
    floor (3758.5)     		ty = 3758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3023 / 3758 ti = "13/3023/3758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3023/3758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3023 ÷ 213
    3023 ÷ 8192     		x = 0.3690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3758 ÷ 213
    3758 ÷ 8192     		y = 0.458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82298069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82298069} λ = -0.82298069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259242753145264))-π/2
    2×atan(1.29594836218763)-π/2
    2×0.913591561681295-π/2
    1.82718312336259-1.57079632675     		φ = 0.25638680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82298069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25638680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.689882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3023 KachelY 3758 -0.82298069 0.25638680 -47.153320 14.689882
    Oben rechts KachelX + 1 3024 KachelY 3758 -0.82221370 0.25638680 -47.109375 14.689882
    Unten links KachelX 3023 KachelY + 1 3759 -0.82298069 0.25564481 -47.153320 14.647369
    Unten rechts KachelX + 1 3024 KachelY + 1 3759 -0.82221370 0.25564481 -47.109375 14.647369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25638680-0.25564481) × R
    0.000741990000000026 × 6371000     		dl = 4727.21829000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25638680-0.25564481) × R
    0.000741990000000026 × 6371000     		dr = 4727.21829000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82298069--0.82221370) × cos(0.25638680) × R
    0.000766989999999912 × 0.967312551356243 × 6371000     		do = 4726.76629153452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82298069--0.82221370) × cos(0.25564481) × R
    0.000766989999999912 × 0.96750044417042 × 6371000     		du = 4727.68442851024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25638680)-sin(0.25564481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967312551356243-0.96750044417042)×R²
    abs(-0.82221370--0.82298069)×0.000187892814176971×R²
    0.000766989999999912×0.000187892814176971×6371000²
    0.000766989999999912×0.000187892814176971×40589641000000     		ar = 22346627.2080945m²