Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30229 / 20306
↖ ↑ ↗
← N 56.310443°
W 13.947144°		 ← 338.83 m → N 56.310443°
W 13.941650°		 →
↑
338.87 m
↓
↑
338.87 m
↓
N 56.307396°
W 13.947144°		 ← 338.86 m →
114 827 m²		 N 56.307396°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461265563964844 y=0.309852600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461265563964844 × 216)
    floor (0.461265563964844 × 65536)
    floor (30229.5)     		tx = 30229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309852600097656 × 216)
    floor (0.309852600097656 × 65536)
    floor (20306.5)     		ty = 20306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30229 / 20306 ti = "16/30229/20306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30229/20306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30229 ÷ 216
    30229 ÷ 65536     		x = 0.461257934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20306 ÷ 216
    20306 ÷ 65536     		y = 0.309844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461257934570312 × 2 - 1) × π
    -0.077484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24342358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309844970703125 × 2 - 1) × π
    0.38031005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19477928613028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24342358} λ = -0.24342358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19477928613028))-π/2
    2×atan(3.30282870994215)-π/2
    2×1.27679948168655-π/2
    2.5535989633731-1.57079632675     		φ = 0.98280264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24342358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.947144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98280264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.310443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30229 KachelY 20306 -0.24342358 0.98280264 -13.947144 56.310443
    Oben rechts KachelX + 1 30230 KachelY 20306 -0.24332770 0.98280264 -13.941650 56.310443
    Unten links KachelX 30229 KachelY + 1 20307 -0.24342358 0.98274945 -13.947144 56.307396
    Unten rechts KachelX + 1 30230 KachelY + 1 20307 -0.24332770 0.98274945 -13.941650 56.307396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98280264-0.98274945) × R
    5.31899999999252e-05 × 6371000     		dl = 338.873489999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98280264-0.98274945) × R
    5.31899999999252e-05 × 6371000     		dr = 338.873489999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24342358--0.24332770) × cos(0.98280264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554692777016493 × 6371000     		do = 338.834903785809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24342358--0.24332770) × cos(0.98274945) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554737033250049 × 6371000     		du = 338.861937771576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98280264)-sin(0.98274945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554692777016493-0.554737033250049)×R²
    abs(-0.24332770--0.24342358)×4.42562335557506e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42562335557506e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42562335557506e-05×40589641000000     		ar = 114826.746957028m²