Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30228 / 30024
↖ ↑ ↗
← S 81.634149°
E152.094726°		 ← 177.74 m → S 81.634149°
E152.105713°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
S 81.635747°
E152.094726°		 ← 177.71 m →
31 591 m²		 S 81.635747°
E152.105713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922500610351562 y=0.916275024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922500610351562 × 215)
    floor (0.922500610351562 × 32768)
    floor (30228.5)     		tx = 30228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916275024414062 × 215)
    floor (0.916275024414062 × 32768)
    floor (30024.5)     		ty = 30024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30228 / 30024 ti = "15/30228/30024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30228/30024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30228 ÷ 215
    30228 ÷ 32768     		x = 0.9224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30024 ÷ 215
    30024 ÷ 32768     		y = 0.916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9224853515625 × 2 - 1) × π
    0.844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65455375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916259765625 × 2 - 1) × π
    -0.83251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65455375} λ = 2.65455375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61543724327026))-π/2
    2×atan(0.0731358035659259)-π/2
    2×0.0730058230812772-π/2
    0.146011646162554-1.57079632675     		φ = -1.42478468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65455375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42478468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.634149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30228 KachelY 30024 2.65455375 -1.42478468 152.094726 -81.634149
    Oben rechts KachelX + 1 30229 KachelY 30024 2.65474550 -1.42478468 152.105713 -81.634149
    Unten links KachelX 30228 KachelY + 1 30025 2.65455375 -1.42481258 152.094726 -81.635747
    Unten rechts KachelX + 1 30229 KachelY + 1 30025 2.65474550 -1.42481258 152.105713 -81.635747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42478468--1.42481258) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dl = 177.750900000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42478468--1.42481258) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dr = 177.750900000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65455375-2.65474550) × cos(-1.42478468) × R
    0.000191750000000379 × 0.145493386079104 × 6371000     		do = 177.740431049988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65455375-2.65474550) × cos(-1.42481258) × R
    0.000191750000000379 × 0.145465782900124 × 6371000     		du = 177.706709923122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42478468)-sin(-1.42481258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145493386079104-0.145465782900124)×R²
    abs(2.65474550-2.65455375)×2.76031789798181e-05×R²
    0.000191750000000379×2.76031789798181e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.76031789798181e-05×40589641000000     		ar = 31590.5246066182m²