Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30228 / 28182
↖ ↑ ↗
← N 24.417142°
W 13.952637°		 ← 556.16 m → N 24.417142°
W 13.947144°		 →
↑
556.19 m
↓
↑
556.19 m
↓
N 24.412140°
W 13.952637°		 ← 556.18 m →
309 335 m²		 N 24.412140°
W 13.947144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461250305175781 y=0.430030822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461250305175781 × 216)
    floor (0.461250305175781 × 65536)
    floor (30228.5)     		tx = 30228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430030822753906 × 216)
    floor (0.430030822753906 × 65536)
    floor (28182.5)     		ty = 28182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30228 / 28182 ti = "16/30228/28182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30228/28182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30228 ÷ 216
    30228 ÷ 65536     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28182 ÷ 216
    28182 ÷ 65536     		y = 0.430023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    0.13995361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439677243315155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439677243315155))-π/2
    2×atan(1.55220615274247)-π/2
    2×0.998477924526636-π/2
    1.99695584905327-1.57079632675     		φ = 0.42615952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42615952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.417142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30228 KachelY 28182 -0.24351945 0.42615952 -13.952637 24.417142
    Oben rechts KachelX + 1 30229 KachelY 28182 -0.24342358 0.42615952 -13.947144 24.417142
    Unten links KachelX 30228 KachelY + 1 28183 -0.24351945 0.42607222 -13.952637 24.412140
    Unten rechts KachelX + 1 30229 KachelY + 1 28183 -0.24342358 0.42607222 -13.947144 24.412140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42615952-0.42607222) × R
    8.73000000000124e-05 × 6371000     		dl = 556.188300000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42615952-0.42607222) × R
    8.73000000000124e-05 × 6371000     		dr = 556.188300000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24342358) × cos(0.42615952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910560026428689 × 6371000     		do = 556.158927993508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24342358) × cos(0.42607222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910596110759744 × 6371000     		du = 556.180967861605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42615952)-sin(0.42607222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910560026428689-0.910596110759744)×R²
    abs(-0.24342358--0.24351945)×3.6084331055064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6084331055064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6084331055064e-05×40589641000000     		ar = 309335.218045465m²