Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30227 / 41435
↖ ↑ ↗
← S 42.920229°
W 13.958130°		 ← 447.28 m → S 42.920229°
W 13.952637°		 →
↑
447.24 m
↓
↑
447.24 m
↓
S 42.924252°
W 13.958130°		 ← 447.25 m →
200 037 m²		 S 42.924252°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461235046386719 y=0.632255554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461235046386719 × 216)
    floor (0.461235046386719 × 65536)
    floor (30227.5)     		tx = 30227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632255554199219 × 216)
    floor (0.632255554199219 × 65536)
    floor (41435.5)     		ty = 41435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30227 / 41435 ti = "16/30227/41435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30227/41435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30227 ÷ 216
    30227 ÷ 65536     		x = 0.461227416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41435 ÷ 216
    41435 ÷ 65536     		y = 0.632247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461227416992188 × 2 - 1) × π
    -0.077545166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24361532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632247924804688 × 2 - 1) × π
    -0.264495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.830938218014053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24361532} λ = -0.24361532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830938218014053))-π/2
    2×atan(0.435640368882943)-π/2
    2×0.41084850554227-π/2
    0.82169701108454-1.57079632675     		φ = -0.74909932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24361532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.958130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74909932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.920229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30227 KachelY 41435 -0.24361532 -0.74909932 -13.958130 -42.920229
    Oben rechts KachelX + 1 30228 KachelY 41435 -0.24351945 -0.74909932 -13.952637 -42.920229
    Unten links KachelX 30227 KachelY + 1 41436 -0.24361532 -0.74916952 -13.958130 -42.924252
    Unten rechts KachelX + 1 30228 KachelY + 1 41436 -0.24351945 -0.74916952 -13.952637 -42.924252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74909932--0.74916952) × R
    7.02000000000202e-05 × 6371000     		dl = 447.244200000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74909932--0.74916952) × R
    7.02000000000202e-05 × 6371000     		dr = 447.244200000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24361532--0.24351945) × cos(-0.74909932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		do = 447.281417297041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24361532--0.24351945) × cos(-0.74916952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732254703844368 × 6371000     		du = 447.252217633102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74909932)-sin(-0.74916952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732302510407257-0.732254703844368)×R²
    abs(-0.24351945--0.24361532)×4.78065628890523e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78065628890523e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78065628890523e-05×40589641000000     		ar = 200037.490046004m²