Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30227 / 30039
↖ ↑ ↗
← S 81.658092°
E152.083740°		 ← 177.23 m → S 81.658092°
E152.094726°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
S 81.659685°
E152.083740°		 ← 177.19 m →
31 398 m²		 S 81.659685°
E152.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922470092773438 y=0.916732788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922470092773438 × 215)
    floor (0.922470092773438 × 32768)
    floor (30227.5)     		tx = 30227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916732788085938 × 215)
    floor (0.916732788085938 × 32768)
    floor (30039.5)     		ty = 30039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30227 / 30039 ti = "15/30227/30039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30227/30039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30227 ÷ 215
    30227 ÷ 32768     		x = 0.922454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30039 ÷ 215
    30039 ÷ 32768     		y = 0.916717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922454833984375 × 2 - 1) × π
    0.84490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65436201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.83343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65436201} λ = 2.65436201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61831345724747))-π/2
    2×atan(0.0729257515675288)-π/2
    2×0.0727968854513264-π/2
    0.145593770902653-1.57079632675     		φ = -1.42520256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65436201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.083740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42520256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.658092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30227 KachelY 30039 2.65436201 -1.42520256 152.083740 -81.658092
    Oben rechts KachelX + 1 30228 KachelY 30039 2.65455375 -1.42520256 152.094726 -81.658092
    Unten links KachelX 30227 KachelY + 1 30040 2.65436201 -1.42523037 152.083740 -81.659685
    Unten rechts KachelX + 1 30228 KachelY + 1 30040 2.65455375 -1.42523037 152.094726 -81.659685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42520256--1.42523037) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42520256--1.42523037) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65436201-2.65455375) × cos(-1.42520256) × R
    0.000191739999999996 × 0.145079939955211 × 6371000     		do = 177.226105993951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65436201-2.65455375) × cos(-1.42523037) × R
    0.000191739999999996 × 0.145052424130675 × 6371000     		du = 177.192493335734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42520256)-sin(-1.42523037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145079939955211-0.145052424130675)×R²
    abs(2.65455375-2.65436201)×2.75158245365281e-05×R²
    0.000191739999999996×2.75158245365281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.75158245365281e-05×40589641000000     		ar = 31397.5024654482m²