Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30225 / 30037
↖ ↑ ↗
← S 81.654903°
E152.061768°		 ← 177.30 m → S 81.654903°
E152.072754°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
S 81.656497°
E152.061768°		 ← 177.27 m →
31 422 m²		 S 81.656497°
E152.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922409057617188 y=0.916671752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922409057617188 × 215)
    floor (0.922409057617188 × 32768)
    floor (30225.5)     		tx = 30225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916671752929688 × 215)
    floor (0.916671752929688 × 32768)
    floor (30037.5)     		ty = 30037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30225 / 30037 ti = "15/30225/30037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30225/30037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30225 ÷ 215
    30225 ÷ 32768     		x = 0.922393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30037 ÷ 215
    30037 ÷ 32768     		y = 0.916656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922393798828125 × 2 - 1) × π
    0.84478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65397851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.83331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61792996205051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65397851} λ = 2.65397851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61792996205051))-π/2
    2×atan(0.0729537236062182)-π/2
    2×0.072824709460572-π/2
    0.145649418921144-1.57079632675     		φ = -1.42514691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65397851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42514691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.654903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30225 KachelY 30037 2.65397851 -1.42514691 152.061768 -81.654903
    Oben rechts KachelX + 1 30226 KachelY 30037 2.65417026 -1.42514691 152.072754 -81.654903
    Unten links KachelX 30225 KachelY + 1 30038 2.65397851 -1.42517473 152.061768 -81.656497
    Unten rechts KachelX + 1 30226 KachelY + 1 30038 2.65417026 -1.42517473 152.072754 -81.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42514691--1.42517473) × R
    2.78199999999007e-05 × 6371000     		dl = 177.241219999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42514691--1.42517473) × R
    2.78199999999007e-05 × 6371000     		dr = 177.241219999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65397851-2.65417026) × cos(-1.42514691) × R
    0.000191749999999935 × 0.145135000950006 × 6371000     		do = 177.302613709255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65397851-2.65417026) × cos(-1.42517473) × R
    0.000191749999999935 × 0.145107475455861 × 6371000     		du = 177.268987485232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42514691)-sin(-1.42517473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145135000950006-0.145107475455861)×R²
    abs(2.65417026-2.65397851)×2.75254941445868e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75254941445868e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75254941445868e-05×40589641000000     		ar = 31422.3515883177m²