Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30225 / 30025
↖ ↑ ↗
← S 81.635747°
E152.061768°		 ← 177.71 m → S 81.635747°
E152.072754°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 81.637345°
E152.061768°		 ← 177.67 m →
31 573 m²		 S 81.637345°
E152.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922409057617188 y=0.916305541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922409057617188 × 215)
    floor (0.922409057617188 × 32768)
    floor (30225.5)     		tx = 30225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916305541992188 × 215)
    floor (0.916305541992188 × 32768)
    floor (30025.5)     		ty = 30025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30225 / 30025 ti = "15/30225/30025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30225/30025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30225 ÷ 215
    30225 ÷ 32768     		x = 0.922393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30025 ÷ 215
    30025 ÷ 32768     		y = 0.916290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922393798828125 × 2 - 1) × π
    0.84478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65397851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61562899086874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65397851} λ = 2.65397851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61562899086874))-π/2
    2×atan(0.0731217812956404)-π/2
    2×0.0729918754006812-π/2
    0.145983750801362-1.57079632675     		φ = -1.42481258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65397851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42481258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.635747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30225 KachelY 30025 2.65397851 -1.42481258 152.061768 -81.635747
    Oben rechts KachelX + 1 30226 KachelY 30025 2.65417026 -1.42481258 152.072754 -81.635747
    Unten links KachelX 30225 KachelY + 1 30026 2.65397851 -1.42484047 152.061768 -81.637345
    Unten rechts KachelX + 1 30226 KachelY + 1 30026 2.65417026 -1.42484047 152.072754 -81.637345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42481258--1.42484047) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dl = 177.687189999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42481258--1.42484047) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dr = 177.687189999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65397851-2.65417026) × cos(-1.42481258) × R
    0.000191749999999935 × 0.145465782900124 × 6371000     		do = 177.70670992271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65397851-2.65417026) × cos(-1.42484047) × R
    0.000191749999999935 × 0.145438189501586 × 6371000     		du = 177.673000744015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42481258)-sin(-1.42484047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145465782900124-0.145438189501586)×R²
    abs(2.65417026-2.65397851)×2.75933985382504e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75933985382504e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75933985382504e-05×40589641000000     		ar = 31573.2110878845m²