Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30225 / 20316
↖ ↑ ↗
← N 56.279961°
W 13.969116°		 ← 339.07 m → N 56.279961°
W 13.963623°		 →
↑
339.13 m
↓
↑
339.13 m
↓
N 56.276911°
W 13.969116°		 ← 339.10 m →
114 993 m²		 N 56.276911°
W 13.963623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461204528808594 y=0.310005187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461204528808594 × 216)
    floor (0.461204528808594 × 65536)
    floor (30225.5)     		tx = 30225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310005187988281 × 216)
    floor (0.310005187988281 × 65536)
    floor (20316.5)     		ty = 20316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30225 / 20316 ti = "16/30225/20316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30225/20316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30225 ÷ 216
    30225 ÷ 65536     		x = 0.461196899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20316 ÷ 216
    20316 ÷ 65536     		y = 0.30999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461196899414062 × 2 - 1) × π
    -0.077606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24380707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30999755859375 × 2 - 1) × π
    0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24380707} λ = -0.24380707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19382054813788))-π/2
    2×atan(3.29966368003518)-π/2
    2×1.27653347309153-π/2
    2.55306694618306-1.57079632675     		φ = 0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24380707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.969116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30225 KachelY 20316 -0.24380707 0.98227062 -13.969116 56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 30226 KachelY 20316 -0.24371120 0.98227062 -13.963623 56.279961
    Unten links KachelX 30225 KachelY + 1 20317 -0.24380707 0.98221739 -13.969116 56.276911
    Unten rechts KachelX + 1 30226 KachelY + 1 20317 -0.24371120 0.98221739 -13.963623 56.276911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98227062-0.98221739) × R
    5.32300000000152e-05 × 6371000     		dl = 339.128330000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98227062-0.98221739) × R
    5.32300000000152e-05 × 6371000     		dr = 339.128330000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24380707--0.24371120) × cos(0.98227062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 339.069893788308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24380707--0.24371120) × cos(0.98221739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555179642322149 × 6371000     		du = 339.096935683336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98227062)-sin(0.98221739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.555179642322149)×R²
    abs(-0.24371120--0.24380707)×4.4273799110095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4273799110095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4273799110095e-05×40589641000000     		ar = 114992.792197047m²