Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30224 / 30038
↖ ↑ ↗
← S 81.656497°
E152.050781°		 ← 177.27 m → S 81.656497°
E152.061768°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
S 81.658092°
E152.050781°		 ← 177.24 m →
31 428 m²		 S 81.658092°
E152.061768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922378540039062 y=0.916702270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922378540039062 × 215)
    floor (0.922378540039062 × 32768)
    floor (30224.5)     		tx = 30224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916702270507812 × 215)
    floor (0.916702270507812 × 32768)
    floor (30038.5)     		ty = 30038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30224 / 30038 ti = "15/30224/30038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30224/30038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30224 ÷ 215
    30224 ÷ 32768     		x = 0.92236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30038 ÷ 215
    30038 ÷ 32768     		y = 0.91668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92236328125 × 2 - 1) × π
    0.8447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65378676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.8333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61812170964899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65378676} λ = 2.65378676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61812170964899))-π/2
    2×atan(0.0729397362459807)-π/2
    2×0.0728107961362695-π/2
    0.145621592272539-1.57079632675     		φ = -1.42517473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65378676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42517473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30224 KachelY 30038 2.65378676 -1.42517473 152.050781 -81.656497
    Oben rechts KachelX + 1 30225 KachelY 30038 2.65397851 -1.42517473 152.061768 -81.656497
    Unten links KachelX 30224 KachelY + 1 30039 2.65378676 -1.42520256 152.050781 -81.658092
    Unten rechts KachelX + 1 30225 KachelY + 1 30039 2.65397851 -1.42520256 152.061768 -81.658092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42517473--1.42520256) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dl = 177.304930000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42517473--1.42520256) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dr = 177.304930000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65378676-2.65397851) × cos(-1.42517473) × R
    0.000191749999999935 × 0.145107475455861 × 6371000     		do = 177.268987485232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65378676-2.65397851) × cos(-1.42520256) × R
    0.000191749999999935 × 0.145079939955211 × 6371000     		du = 177.235349036869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42517473)-sin(-1.42520256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145107475455861-0.145079939955211)×R²
    abs(2.65397851-2.65378676)×2.75355006503497e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75355006503497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75355006503497e-05×40589641000000     		ar = 31427.6832880717m²