Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30224 / 20336
↖ ↑ ↗
← N 56.218923°
W 13.974610°		 ← 339.65 m → N 56.218923°
W 13.969116°		 →
↑
339.64 m
↓
↑
339.64 m
↓
N 56.215869°
W 13.974610°		 ← 339.67 m →
115 361 m²		 N 56.215869°
W 13.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461189270019531 y=0.310310363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461189270019531 × 216)
    floor (0.461189270019531 × 65536)
    floor (30224.5)     		tx = 30224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310310363769531 × 216)
    floor (0.310310363769531 × 65536)
    floor (20336.5)     		ty = 20336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30224 / 20336 ti = "16/30224/20336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30224/20336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30224 ÷ 216
    30224 ÷ 65536     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20336 ÷ 216
    20336 ÷ 65536     		y = 0.310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310302734375 × 2 - 1) × π
    0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19190307215308))-π/2
    2×atan(3.29334271625561)-π/2
    2×1.27600081917635-π/2
    2.5520016383527-1.57079632675     		φ = 0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30224 KachelY 20336 -0.24390295 0.98120531 -13.974610 56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 30225 KachelY 20336 -0.24380707 0.98120531 -13.969116 56.218923
    Unten links KachelX 30224 KachelY + 1 20337 -0.24390295 0.98115200 -13.974610 56.215869
    Unten rechts KachelX + 1 30225 KachelY + 1 20337 -0.24380707 0.98115200 -13.969116 56.215869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98120531-0.98115200) × R
    5.33099999999731e-05 × 6371000     		dl = 339.638009999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98120531-0.98115200) × R
    5.33099999999731e-05 × 6371000     		dr = 339.638009999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24380707) × cos(0.98120531) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 339.646333598463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24380707) × cos(0.98115200) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.55606544439364 × 6371000     		du = 339.673399684785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98120531)-sin(0.98115200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.55606544439364)×R²
    abs(-0.24380707--0.24390295)×4.43087840636958e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.43087840636958e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.43087840636958e-05×40589641000000     		ar = 115361.401210465m²