Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30222 / 17299
↖ ↑ ↗
← N 64.427779°
W 13.985596°		 ← 263.65 m → N 64.427779°
W 13.980103°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
N 64.425408°
W 13.985596°		 ← 263.67 m →
69 508 m²		 N 64.425408°
W 13.980103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461158752441406 y=0.263969421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461158752441406 × 216)
    floor (0.461158752441406 × 65536)
    floor (30222.5)     		tx = 30222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263969421386719 × 216)
    floor (0.263969421386719 × 65536)
    floor (17299.5)     		ty = 17299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30222 / 17299 ti = "16/30222/17299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30222/17299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30222 ÷ 216
    30222 ÷ 65536     		x = 0.461151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17299 ÷ 216
    17299 ÷ 65536     		y = 0.263961791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461151123046875 × 2 - 1) × π
    -0.07769775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24409469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263961791992188 × 2 - 1) × π
    0.472076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4830718004453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24409469} λ = -0.24409469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4830718004453))-π/2
    2×atan(4.40646068048116)-π/2
    2×1.34763660543448-π/2
    2.69527321086897-1.57079632675     		φ = 1.12447688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24409469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12447688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.427779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30222 KachelY 17299 -0.24409469 1.12447688 -13.985596 64.427779
    Oben rechts KachelX + 1 30223 KachelY 17299 -0.24399882 1.12447688 -13.980103 64.427779
    Unten links KachelX 30222 KachelY + 1 17300 -0.24409469 1.12443550 -13.985596 64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 30223 KachelY + 1 17300 -0.24399882 1.12443550 -13.980103 64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12447688-1.12443550) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dl = 263.631980000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12447688-1.12443550) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dr = 263.631980000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24409469--0.24399882) × cos(1.12447688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431648452004261 × 6371000     		do = 263.645595423629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24409469--0.24399882) × cos(1.12443550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 263.668393764169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12447688)-sin(1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431648452004261-0.431685778129078)×R²
    abs(-0.24399882--0.24409469)×3.73261248172163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73261248172163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73261248172163e-05×40589641000000     		ar = 69508.4155357395m²