Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30221 / 20958
↖ ↑ ↗
← N 54.271640°
W 13.991089°		 ← 356.70 m → N 54.271640°
W 13.985596°		 →
↑
356.71 m
↓
↑
356.71 m
↓
N 54.268432°
W 13.991089°		 ← 356.73 m →
127 245 m²		 N 54.268432°
W 13.985596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461143493652344 y=0.319801330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461143493652344 × 216)
    floor (0.461143493652344 × 65536)
    floor (30221.5)     		tx = 30221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319801330566406 × 216)
    floor (0.319801330566406 × 65536)
    floor (20958.5)     		ty = 20958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30221 / 20958 ti = "16/30221/20958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30221/20958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30221 ÷ 216
    30221 ÷ 65536     		x = 0.461135864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20958 ÷ 216
    20958 ÷ 65536     		y = 0.319793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461135864257812 × 2 - 1) × π
    -0.077728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24419057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319793701171875 × 2 - 1) × π
    0.36041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13226956902573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24419057} λ = -0.24419057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13226956902573))-π/2
    2×atan(3.10269028504266)-π/2
    2×1.25900756734118-π/2
    2.51801513468237-1.57079632675     		φ = 0.94721881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24419057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.991089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94721881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.271640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30221 KachelY 20958 -0.24419057 0.94721881 -13.991089 54.271640
    Oben rechts KachelX + 1 30222 KachelY 20958 -0.24409469 0.94721881 -13.985596 54.271640
    Unten links KachelX 30221 KachelY + 1 20959 -0.24419057 0.94716282 -13.991089 54.268432
    Unten rechts KachelX + 1 30222 KachelY + 1 20959 -0.24409469 0.94716282 -13.985596 54.268432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94721881-0.94716282) × R
    5.59900000000058e-05 × 6371000     		dl = 356.712290000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94721881-0.94716282) × R
    5.59900000000058e-05 × 6371000     		dr = 356.712290000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24419057--0.24409469) × cos(0.94721881) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583943099952129 × 6371000     		do = 356.702506841518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24419057--0.24409469) × cos(0.94716282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.583988551415892 × 6371000     		du = 356.730270935426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94721881)-sin(0.94716282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583943099952129-0.583988551415892)×R²
    abs(-0.24409469--0.24419057)×4.54514637630021e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54514637630021e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54514637630021e-05×40589641000000     		ar = 127245.119994365m²