Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30220 / 19956
↖ ↑ ↗
← N 57.362090°
W 13.996582°		 ← 329.41 m → N 57.362090°
W 13.991089°		 →
↑
329.44 m
↓
↑
329.44 m
↓
N 57.359127°
W 13.996582°		 ← 329.44 m →
108 528 m²		 N 57.359127°
W 13.991089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461128234863281 y=0.304512023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461128234863281 × 216)
    floor (0.461128234863281 × 65536)
    floor (30220.5)     		tx = 30220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304512023925781 × 216)
    floor (0.304512023925781 × 65536)
    floor (19956.5)     		ty = 19956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30220 / 19956 ti = "16/30220/19956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30220/19956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30220 ÷ 216
    30220 ÷ 65536     		x = 0.46112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19956 ÷ 216
    19956 ÷ 65536     		y = 0.30450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24428644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30450439453125 × 2 - 1) × π
    0.3909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22833511586432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24428644} λ = -0.24428644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22833511586432))-π/2
    2×atan(3.41553832442894)-π/2
    2×1.28597683034242-π/2
    2.57195366068485-1.57079632675     		φ = 1.00115733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24428644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00115733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.362090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30220 KachelY 19956 -0.24428644 1.00115733 -13.996582 57.362090
    Oben rechts KachelX + 1 30221 KachelY 19956 -0.24419057 1.00115733 -13.991089 57.362090
    Unten links KachelX 30220 KachelY + 1 19957 -0.24428644 1.00110562 -13.996582 57.359127
    Unten rechts KachelX + 1 30221 KachelY + 1 19957 -0.24419057 1.00110562 -13.991089 57.359127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00115733-1.00110562) × R
    5.17100000001491e-05 × 6371000     		dl = 329.44441000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00115733-1.00110562) × R
    5.17100000001491e-05 × 6371000     		dr = 329.44441000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24428644--0.24419057) × cos(1.00115733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.539328084626839 × 6371000     		do = 329.414998107591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24428644--0.24419057) × cos(1.00110562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.539371628675916 × 6371000     		du = 329.441594280223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00115733)-sin(1.00110562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539328084626839-0.539371628675916)×R²
    abs(-0.24419057--0.24428644)×4.35440490763606e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35440490763606e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35440490763606e-05×40589641000000     		ar = 108528.310701228m²