Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3022 / 3389
↖ ↑ ↗
← N 29.649869°
W 47.197265°		 ← 4 246.68 m → N 29.649869°
W 47.153320°		 →
↑
4 247.48 m
↓
↑
4 247.48 m
↓
N 29.611670°
W 47.197265°		 ← 4 248.29 m →
18 041 113 m²		 N 29.611670°
W 47.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36895751953125 y=0.41375732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36895751953125 × 213)
    floor (0.36895751953125 × 8192)
    floor (3022.5)     		tx = 3022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41375732421875 × 213)
    floor (0.41375732421875 × 8192)
    floor (3389.5)     		ty = 3389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3022 / 3389 ti = "13/3022/3389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3022/3389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3022 ÷ 213
    3022 ÷ 8192     		x = 0.368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3389 ÷ 213
    3389 ÷ 8192     		y = 0.4136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.26220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82374768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4136962890625 × 2 - 1) × π
    0.172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.542262208502075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82374768} λ = -0.82374768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542262208502075))-π/2
    2×atan(1.7198932217185)-π/2
    2×1.04414207899799-π/2
    2.08828415799598-1.57079632675     		φ = 0.51748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82374768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.197265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.649869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3022 KachelY 3389 -0.82374768 0.51748783 -47.197265 29.649869
    Oben rechts KachelX + 1 3023 KachelY 3389 -0.82298069 0.51748783 -47.153320 29.649869
    Unten links KachelX 3022 KachelY + 1 3390 -0.82374768 0.51682114 -47.197265 29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 3023 KachelY + 1 3390 -0.82298069 0.51682114 -47.153320 29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51748783-0.51682114) × R
    0.00066668999999997 × 6371000     		dl = 4247.48198999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51748783-0.51682114) × R
    0.00066668999999997 × 6371000     		dr = 4247.48198999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82374768--0.82298069) × cos(0.51748783) × R
    0.000766990000000023 × 0.869064687339429 × 6371000     		do = 4246.67876326019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82374768--0.82298069) × cos(0.51682114) × R
    0.000766990000000023 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 4248.28943625277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51748783)-sin(0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869064687339429-0.869394304694246)×R²
    abs(-0.82298069--0.82374768)×0.000329617354816958×R²
    0.000766990000000023×0.000329617354816958×6371000²
    0.000766990000000023×0.000329617354816958×40589641000000     		ar = 18041112.8847613m²