Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30219 / 42037
↖ ↑ ↗
← S 45.294211°
W 14.002075°		 ← 429.67 m → S 45.294211°
W 13.996582°		 →
↑
429.72 m
↓
↑
429.72 m
↓
S 45.298075°
W 14.002075°		 ← 429.64 m →
184 633 m²		 S 45.298075°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461112976074219 y=0.641441345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461112976074219 × 216)
    floor (0.461112976074219 × 65536)
    floor (30219.5)     		tx = 30219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641441345214844 × 216)
    floor (0.641441345214844 × 65536)
    floor (42037.5)     		ty = 42037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30219 / 42037 ti = "16/30219/42037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30219/42037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30219 ÷ 216
    30219 ÷ 65536     		x = 0.461105346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42037 ÷ 216
    42037 ÷ 65536     		y = 0.641433715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641433715820312 × 2 - 1) × π
    -0.282867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.888654245156601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24438231} λ = -0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888654245156601))-π/2
    2×atan(0.411208766747751)-π/2
    2×0.390131606268123-π/2
    0.780263212536246-1.57079632675     		φ = -0.79053311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79053311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.294211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30219 KachelY 42037 -0.24438231 -0.79053311 -14.002075 -45.294211
    Oben rechts KachelX + 1 30220 KachelY 42037 -0.24428644 -0.79053311 -13.996582 -45.294211
    Unten links KachelX 30219 KachelY + 1 42038 -0.24438231 -0.79060056 -14.002075 -45.298075
    Unten rechts KachelX + 1 30220 KachelY + 1 42038 -0.24428644 -0.79060056 -13.996582 -45.298075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79053311--0.79060056) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dl = 429.723949999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79053311--0.79060056) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dr = 429.723949999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(-0.79053311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703466519218491 × 6371000     		do = 429.668746543115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(-0.79060056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703418578987842 × 6371000     		du = 429.639465236544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79053311)-sin(-0.79060056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703466519218491-0.703418578987842)×R²
    abs(-0.24428644--0.24438231)×4.7940230649246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7940230649246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7940230649246e-05×40589641000000     		ar = 184632.65958661m²