Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30219 / 20319
↖ ↑ ↗
← N 56.270811°
W 14.002075°		 ← 339.15 m → N 56.270811°
W 13.996582°		 →
↑
339.19 m
↓
↑
339.19 m
↓
N 56.267761°
W 14.002075°		 ← 339.18 m →
115 042 m²		 N 56.267761°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461112976074219 y=0.310050964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461112976074219 × 216)
    floor (0.461112976074219 × 65536)
    floor (30219.5)     		tx = 30219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310050964355469 × 216)
    floor (0.310050964355469 × 65536)
    floor (20319.5)     		ty = 20319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30219 / 20319 ti = "16/30219/20319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30219/20319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30219 ÷ 216
    30219 ÷ 65536     		x = 0.461105346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20319 ÷ 216
    20319 ÷ 65536     		y = 0.310043334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310043334960938 × 2 - 1) × π
    0.379913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19353292674016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24438231} λ = -0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19353292674016))-π/2
    2×atan(3.29871476262654)-π/2
    2×1.27645362913626-π/2
    2.55290725827251-1.57079632675     		φ = 0.98211093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98211093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.270811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30219 KachelY 20319 -0.24438231 0.98211093 -14.002075 56.270811
    Oben rechts KachelX + 1 30220 KachelY 20319 -0.24428644 0.98211093 -13.996582 56.270811
    Unten links KachelX 30219 KachelY + 1 20320 -0.24438231 0.98205769 -14.002075 56.267761
    Unten rechts KachelX + 1 30220 KachelY + 1 20320 -0.24428644 0.98205769 -13.996582 56.267761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98211093-0.98205769) × R
    5.32400000000655e-05 × 6371000     		dl = 339.192040000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98211093-0.98205769) × R
    5.32400000000655e-05 × 6371000     		dr = 339.192040000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(0.98211093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555268185201051 × 6371000     		do = 339.15101659089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(0.98205769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55531246259701 × 6371000     		du = 339.178060682829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98211093)-sin(0.98205769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555268185201051-0.55531246259701)×R²
    abs(-0.24428644--0.24438231)×4.42773959589138e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42773959589138e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42773959589138e-05×40589641000000     		ar = 115041.911783045m²