Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30219 / 19978
↖ ↑ ↗
← N 57.296854°
W 14.002075°		 ← 330 m → N 57.296854°
W 13.996582°		 →
↑
330.02 m
↓
↑
330.02 m
↓
N 57.293886°
W 14.002075°		 ← 330.03 m →
108 910 m²		 N 57.293886°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461112976074219 y=0.304847717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461112976074219 × 216)
    floor (0.461112976074219 × 65536)
    floor (30219.5)     		tx = 30219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304847717285156 × 216)
    floor (0.304847717285156 × 65536)
    floor (19978.5)     		ty = 19978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30219 / 19978 ti = "16/30219/19978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30219/19978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30219 ÷ 216
    30219 ÷ 65536     		x = 0.461105346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19978 ÷ 216
    19978 ÷ 65536     		y = 0.304840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304840087890625 × 2 - 1) × π
    0.39031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22622589228104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24438231} λ = -0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22622589228104))-π/2
    2×atan(3.40834178267126)-π/2
    2×1.28540754328599-π/2
    2.57081508657198-1.57079632675     		φ = 1.00001876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00001876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.296854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30219 KachelY 19978 -0.24438231 1.00001876 -14.002075 57.296854
    Oben rechts KachelX + 1 30220 KachelY 19978 -0.24428644 1.00001876 -13.996582 57.296854
    Unten links KachelX 30219 KachelY + 1 19979 -0.24438231 0.99996696 -14.002075 57.293886
    Unten rechts KachelX + 1 30220 KachelY + 1 19979 -0.24428644 0.99996696 -13.996582 57.293886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00001876-0.99996696) × R
    5.17999999999352e-05 × 6371000     		dl = 330.017799999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00001876-0.99996696) × R
    5.17999999999352e-05 × 6371000     		dr = 330.017799999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(1.00001876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540286519777389 × 6371000     		do = 330.000398575885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24438231--0.24428644) × cos(0.99996696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540330107774564 × 6371000     		du = 330.027021591479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00001876)-sin(0.99996696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540286519777389-0.540330107774564)×R²
    abs(-0.24428644--0.24438231)×4.35879971750763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35879971750763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35879971750763e-05×40589641000000     		ar = 108910.398595943m²