Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30218 / 20076
↖ ↑ ↗
← N 57.004850°
W 14.007568°		 ← 332.65 m → N 57.004850°
W 14.002075°		 →
↑
332.63 m
↓
↑
332.63 m
↓
N 57.001859°
W 14.007568°		 ← 332.68 m →
110 654 m²		 N 57.001859°
W 14.002075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461097717285156 y=0.306343078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461097717285156 × 216)
    floor (0.461097717285156 × 65536)
    floor (30218.5)     		tx = 30218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306343078613281 × 216)
    floor (0.306343078613281 × 65536)
    floor (20076.5)     		ty = 20076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30218 / 20076 ti = "16/30218/20076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30218/20076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30218 ÷ 216
    30218 ÷ 65536     		x = 0.461090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20076 ÷ 216
    20076 ÷ 65536     		y = 0.30633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30633544921875 × 2 - 1) × π
    0.3873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21683025995551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24447819} λ = -0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21683025995551))-π/2
    2×atan(3.37646822702364)-π/2
    2×1.28285932736715-π/2
    2.56571865473431-1.57079632675     		φ = 0.99492233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99492233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.004850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30218 KachelY 20076 -0.24447819 0.99492233 -14.007568 57.004850
    Oben rechts KachelX + 1 30219 KachelY 20076 -0.24438231 0.99492233 -14.002075 57.004850
    Unten links KachelX 30218 KachelY + 1 20077 -0.24447819 0.99487012 -14.007568 57.001859
    Unten rechts KachelX + 1 30219 KachelY + 1 20077 -0.24438231 0.99487012 -14.002075 57.001859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99492233-0.99487012) × R
    5.2209999999997e-05 × 6371000     		dl = 332.629909999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99492233-0.99487012) × R
    5.2209999999997e-05 × 6371000     		dr = 332.629909999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24447819--0.24438231) × cos(0.99492233) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544568034263248 × 6371000     		do = 332.650189690466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24447819--0.24438231) × cos(0.99487012) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.544611822918463 × 6371000     		du = 332.676938055312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99492233)-sin(0.99487012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544568034263248-0.544611822918463)×R²
    abs(-0.24438231--0.24447819)×4.37886552157041e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.37886552157041e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.37886552157041e-05×40589641000000     		ar = 110653.851336459m²