Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30217 / 19944
↖ ↑ ↗
← N 57.397624°
W 14.013061°		 ← 329.10 m → N 57.397624°
W 14.007568°		 →
↑
329.13 m
↓
↑
329.13 m
↓
N 57.394664°
W 14.013061°		 ← 329.12 m →
108 318 m²		 N 57.394664°
W 14.007568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461082458496094 y=0.304328918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461082458496094 × 216)
    floor (0.461082458496094 × 65536)
    floor (30217.5)     		tx = 30217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304328918457031 × 216)
    floor (0.304328918457031 × 65536)
    floor (19944.5)     		ty = 19944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30217 / 19944 ti = "16/30217/19944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30217/19944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30217 ÷ 216
    30217 ÷ 65536     		x = 0.461074829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19944 ÷ 216
    19944 ÷ 65536     		y = 0.3043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461074829101562 × 2 - 1) × π
    -0.077850341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24457406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3043212890625 × 2 - 1) × π
    0.391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2294856014552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24457406} λ = -0.24457406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2294856014552))-π/2
    2×atan(3.41947011335587)-π/2
    2×1.28628692467881-π/2
    2.57257384935762-1.57079632675     		φ = 1.00177752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24457406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.013061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00177752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.397624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30217 KachelY 19944 -0.24457406 1.00177752 -14.013061 57.397624
    Oben rechts KachelX + 1 30218 KachelY 19944 -0.24447819 1.00177752 -14.007568 57.397624
    Unten links KachelX 30217 KachelY + 1 19945 -0.24457406 1.00172586 -14.013061 57.394664
    Unten rechts KachelX + 1 30218 KachelY + 1 19945 -0.24447819 1.00172586 -14.007568 57.394664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00177752-1.00172586) × R
    5.16600000000089e-05 × 6371000     		dl = 329.125860000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00177752-1.00172586) × R
    5.16600000000089e-05 × 6371000     		dr = 329.125860000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24457406--0.24447819) × cos(1.00177752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.538805721587631 × 6371000     		do = 329.095945151743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24457406--0.24447819) × cos(1.00172586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.538849240805185 × 6371000     		du = 329.122526157585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00177752)-sin(1.00172586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538805721587631-0.538849240805185)×R²
    abs(-0.24447819--0.24457406)×4.35192175539667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35192175539667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35192175539667e-05×40589641000000     		ar = 108318.360243045m²