Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30216 / 19992
↖ ↑ ↗
← N 57.255281°
W 14.018555°		 ← 330.41 m → N 57.255281°
W 14.013061°		 →
↑
330.40 m
↓
↑
330.40 m
↓
N 57.252309°
W 14.018555°		 ← 330.43 m →
109 171 m²		 N 57.252309°
W 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461067199707031 y=0.305061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461067199707031 × 216)
    floor (0.461067199707031 × 65536)
    floor (30216.5)     		tx = 30216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305061340332031 × 216)
    floor (0.305061340332031 × 65536)
    floor (19992.5)     		ty = 19992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30216 / 19992 ti = "16/30216/19992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30216/19992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30216 ÷ 216
    30216 ÷ 65536     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19992 ÷ 216
    19992 ÷ 65536     		y = 0.3050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3050537109375 × 2 - 1) × π
    0.389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22488365909167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22488365909167))-π/2
    2×atan(3.40377006205381)-π/2
    2×1.28504474322215-π/2
    2.57008948644431-1.57079632675     		φ = 0.99929316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99929316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.255281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30216 KachelY 19992 -0.24466994 0.99929316 -14.018555 57.255281
    Oben rechts KachelX + 1 30217 KachelY 19992 -0.24457406 0.99929316 -14.013061 57.255281
    Unten links KachelX 30216 KachelY + 1 19993 -0.24466994 0.99924130 -14.018555 57.252309
    Unten rechts KachelX + 1 30217 KachelY + 1 19993 -0.24457406 0.99924130 -14.013061 57.252309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99929316-0.99924130) × R
    5.18600000000147e-05 × 6371000     		dl = 330.400060000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99929316-0.99924130) × R
    5.18600000000147e-05 × 6371000     		dr = 330.400060000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24457406) × cos(0.99929316) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.540896956195847 × 6371000     		do = 330.407706219703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24457406) × cos(0.99924130) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.540940574337128 × 6371000     		du = 330.434350425859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99929316)-sin(0.99924130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540896956195847-0.540940574337128)×R²
    abs(-0.24457406--0.24466994)×4.36181412809544e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36181412809544e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36181412809544e-05×40589641000000     		ar = 109171.127607719m²