Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30216 / 19945
↖ ↑ ↗
← N 57.394664°
W 14.018555°		 ← 329.16 m → N 57.394664°
W 14.013061°		 →
↑
329.13 m
↓
↑
329.13 m
↓
N 57.391704°
W 14.018555°		 ← 329.18 m →
108 338 m²		 N 57.391704°
W 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461067199707031 y=0.304344177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461067199707031 × 216)
    floor (0.461067199707031 × 65536)
    floor (30216.5)     		tx = 30216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304344177246094 × 216)
    floor (0.304344177246094 × 65536)
    floor (19945.5)     		ty = 19945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30216 / 19945 ti = "16/30216/19945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30216/19945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30216 ÷ 216
    30216 ÷ 65536     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19945 ÷ 216
    19945 ÷ 65536     		y = 0.304336547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304336547851562 × 2 - 1) × π
    0.391326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22938972765596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22938972765596))-π/2
    2×atan(3.41914229147973)-π/2
    2×1.28626109496005-π/2
    2.57252218992011-1.57079632675     		φ = 1.00172586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00172586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.394664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30216 KachelY 19945 -0.24466994 1.00172586 -14.018555 57.394664
    Oben rechts KachelX + 1 30217 KachelY 19945 -0.24457406 1.00172586 -14.013061 57.394664
    Unten links KachelX 30216 KachelY + 1 19946 -0.24466994 1.00167420 -14.018555 57.391704
    Unten rechts KachelX + 1 30217 KachelY + 1 19946 -0.24457406 1.00167420 -14.013061 57.391704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00172586-1.00167420) × R
    5.16600000000089e-05 × 6371000     		dl = 329.125860000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00172586-1.00167420) × R
    5.16600000000089e-05 × 6371000     		dr = 329.125860000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24457406) × cos(1.00172586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.538849240805185 × 6371000     		do = 329.156856242698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24457406) × cos(1.00167420) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.538892758584682 × 6371000     		du = 329.18343914271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00172586)-sin(1.00167420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538849240805185-0.538892758584682)×R²
    abs(-0.24457406--0.24466994)×4.35177794970709e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.35177794970709e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.35177794970709e-05×40589641000000     		ar = 108338.407969597m²