Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30215 / 30041
↖ ↑ ↗
← S 81.661278°
E151.951904°		 ← 177.17 m → S 81.661278°
E151.962891°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
S 81.662872°
E151.951904°		 ← 177.13 m →
31 387 m²		 S 81.662872°
E151.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922103881835938 y=0.916793823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922103881835938 × 215)
    floor (0.922103881835938 × 32768)
    floor (30215.5)     		tx = 30215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916793823242188 × 215)
    floor (0.916793823242188 × 32768)
    floor (30041.5)     		ty = 30041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30215 / 30041 ti = "15/30215/30041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30215/30041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30215 ÷ 215
    30215 ÷ 32768     		x = 0.922088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30041 ÷ 215
    30041 ÷ 32768     		y = 0.916778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922088623046875 × 2 - 1) × π
    0.84417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65206103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.83355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61869695244443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65206103} λ = 2.65206103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61869695244443))-π/2
    2×atan(0.0728977902539254)-π/2
    2×0.0727690719975588-π/2
    0.145538143995118-1.57079632675     		φ = -1.42525818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65206103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.951904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42525818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.661278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30215 KachelY 30041 2.65206103 -1.42525818 151.951904 -81.661278
    Oben rechts KachelX + 1 30216 KachelY 30041 2.65225278 -1.42525818 151.962891 -81.661278
    Unten links KachelX 30215 KachelY + 1 30042 2.65206103 -1.42528599 151.951904 -81.662872
    Unten rechts KachelX + 1 30216 KachelY + 1 30042 2.65225278 -1.42528599 151.962891 -81.662872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42525818--1.42528599) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42525818--1.42528599) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65206103-2.65225278) × cos(-1.42525818) × R
    0.000191749999999935 × 0.145024908193955 × 6371000     		do = 177.168120077322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65206103-2.65225278) × cos(-1.42528599) × R
    0.000191749999999935 × 0.144997392145074 × 6371000     		du = 177.134505392004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42525818)-sin(-1.42528599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145024908193955-0.144997392145074)×R²
    abs(2.65225278-2.65206103)×2.75160488812098e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75160488812098e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75160488812098e-05×40589641000000     		ar = 31387.2284852026m²