Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30215 / 20303
↖ ↑ ↗
← N 56.319583°
W 14.024048°		 ← 338.72 m → N 56.319583°
W 14.018555°		 →
↑
338.75 m
↓
↑
338.75 m
↓
N 56.316537°
W 14.024048°		 ← 338.75 m →
114 744 m²		 N 56.316537°
W 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461051940917969 y=0.309806823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461051940917969 × 216)
    floor (0.461051940917969 × 65536)
    floor (30215.5)     		tx = 30215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309806823730469 × 216)
    floor (0.309806823730469 × 65536)
    floor (20303.5)     		ty = 20303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30215 / 20303 ti = "16/30215/20303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30215/20303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30215 ÷ 216
    30215 ÷ 65536     		x = 0.461044311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20303 ÷ 216
    20303 ÷ 65536     		y = 0.309799194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461044311523438 × 2 - 1) × π
    -0.077911376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24476581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309799194335938 × 2 - 1) × π
    0.380401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.195066907528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24476581} λ = -0.24476581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.195066907528))-π/2
    2×atan(3.30377881078025)-π/2
    2×1.27687924289805-π/2
    2.55375848579611-1.57079632675     		φ = 0.98296216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24476581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.024048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98296216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.319583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30215 KachelY 20303 -0.24476581 0.98296216 -14.024048 56.319583
    Oben rechts KachelX + 1 30216 KachelY 20303 -0.24466994 0.98296216 -14.018555 56.319583
    Unten links KachelX 30215 KachelY + 1 20304 -0.24476581 0.98290899 -14.024048 56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 30216 KachelY + 1 20304 -0.24466994 0.98290899 -14.018555 56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98296216-0.98290899) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dl = 338.746070000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98296216-0.98290899) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dr = 338.746070000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24476581--0.24466994) × cos(0.98296216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554560040507572 × 6371000     		do = 338.718490472722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24476581--0.24466994) × cos(0.98290899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 338.745514348461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98296216)-sin(0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554560040507572-0.554604284804963)×R²
    abs(-0.24466994--0.24476581)×4.42442973914714e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42442973914714e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42442973914714e-05×40589641000000     		ar = 114744.134626954m²