Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30214 / 30042
↖ ↑ ↗
← S 81.662872°
E151.940918°		 ← 177.13 m → S 81.662872°
E151.951904°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
S 81.664465°
E151.940918°		 ← 177.09 m →
31 368 m²		 S 81.664465°
E151.951904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922073364257812 y=0.916824340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922073364257812 × 215)
    floor (0.922073364257812 × 32768)
    floor (30214.5)     		tx = 30214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916824340820312 × 215)
    floor (0.916824340820312 × 32768)
    floor (30042.5)     		ty = 30042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30214 / 30042 ti = "15/30214/30042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30214/30042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30214 ÷ 215
    30214 ÷ 32768     		x = 0.92205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30042 ÷ 215
    30042 ÷ 32768     		y = 0.91680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92205810546875 × 2 - 1) × π
    0.8441162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65186929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.8336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61888870004291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65186929} λ = 2.65186929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61888870004291))-π/2
    2×atan(0.0728838136177457)-π/2
    2×0.0727551692277548-π/2
    0.14551033845551-1.57079632675     		φ = -1.42528599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65186929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42528599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.662872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30214 KachelY 30042 2.65186929 -1.42528599 151.940918 -81.662872
    Oben rechts KachelX + 1 30215 KachelY 30042 2.65206103 -1.42528599 151.951904 -81.662872
    Unten links KachelX 30214 KachelY + 1 30043 2.65186929 -1.42531379 151.940918 -81.664465
    Unten rechts KachelX + 1 30215 KachelY + 1 30043 2.65206103 -1.42531379 151.951904 -81.664465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42528599--1.42531379) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42528599--1.42531379) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65186929-2.65206103) × cos(-1.42528599) × R
    0.000191739999999996 × 0.144997392145074 × 6371000     		do = 177.125267608206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65186929-2.65206103) × cos(-1.42531379) × R
    0.000191739999999996 × 0.144969885878413 × 6371000     		du = 177.091666625657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42528599)-sin(-1.42531379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144997392145074-0.144969885878413)×R²
    abs(2.65206103-2.65186929)×2.75062666610093e-05×R²
    0.000191739999999996×2.75062666610093e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.75062666610093e-05×40589641000000     		ar = 31368.3536257409m²