Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30214 / 28170
↖ ↑ ↗
← N 71.065146°
W 97.014771°		 ← 99.11 m → N 71.065146°
W 97.012024°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 71.064255°
W 97.014771°		 ← 99.11 m →
9 819 m²		 N 71.064255°
W 97.012024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230518341064453 y=0.214923858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230518341064453 × 217)
    floor (0.230518341064453 × 131072)
    floor (30214.5)     		tx = 30214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214923858642578 × 217)
    floor (0.214923858642578 × 131072)
    floor (28170.5)     		ty = 28170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30214 / 28170 ti = "17/30214/28170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30214/28170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30214 ÷ 217
    30214 ÷ 131072     		x = 0.230514526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28170 ÷ 217
    28170 ÷ 131072     		y = 0.214920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.538970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69322717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214920043945312 × 2 - 1) × π
    0.570159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79121019120302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69322717} λ = -1.69322717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79121019120302))-π/2
    2×atan(5.99670523680313)-π/2
    2×1.40555855412419-π/2
    2.81111710824839-1.57079632675     		φ = 1.24032078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69322717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.014771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24032078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.065146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30214 KachelY 28170 -1.69322717 1.24032078 -97.014771 71.065146
    Oben rechts KachelX + 1 30215 KachelY 28170 -1.69317923 1.24032078 -97.012024 71.065146
    Unten links KachelX 30214 KachelY + 1 28171 -1.69322717 1.24030523 -97.014771 71.064255
    Unten rechts KachelX + 1 30215 KachelY + 1 28171 -1.69317923 1.24030523 -97.012024 71.064255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24032078-1.24030523) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24032078-1.24030523) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69322717--1.69317923) × cos(1.24032078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324492879141898 × 6371000     		do = 99.1084777365799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69322717--1.69317923) × cos(1.24030523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324507587663227 × 6371000     		du = 99.1129700975909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24032078)-sin(1.24030523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324492879141898-0.324507587663227)×R²
    abs(-1.69317923--1.69322717)×1.47085213283993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47085213283993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47085213283993e-05×40589641000000     		ar = 9818.80526365397m²