Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30213 / 20977
↖ ↑ ↗
← N 54.210649°
W 14.035034°		 ← 357.23 m → N 54.210649°
W 14.029541°		 →
↑
357.22 m
↓
↑
357.22 m
↓
N 54.207436°
W 14.035034°		 ← 357.26 m →
127 615 m²		 N 54.207436°
W 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461021423339844 y=0.320091247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461021423339844 × 216)
    floor (0.461021423339844 × 65536)
    floor (30213.5)     		tx = 30213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320091247558594 × 216)
    floor (0.320091247558594 × 65536)
    floor (20977.5)     		ty = 20977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30213 / 20977 ti = "16/30213/20977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30213/20977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30213 ÷ 216
    30213 ÷ 65536     		x = 0.461013793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20977 ÷ 216
    20977 ÷ 65536     		y = 0.320083618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461013793945312 × 2 - 1) × π
    -0.077972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24495756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320083618164062 × 2 - 1) × π
    0.359832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13044796684016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24495756} λ = -0.24495756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13044796684016))-π/2
    2×atan(3.09704356224103)-π/2
    2×1.25847531798713-π/2
    2.51695063597426-1.57079632675     		φ = 0.94615431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24495756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.035034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94615431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.210649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30213 KachelY 20977 -0.24495756 0.94615431 -14.035034 54.210649
    Oben rechts KachelX + 1 30214 KachelY 20977 -0.24486168 0.94615431 -14.029541 54.210649
    Unten links KachelX 30213 KachelY + 1 20978 -0.24495756 0.94609824 -14.035034 54.207436
    Unten rechts KachelX + 1 30214 KachelY + 1 20978 -0.24486168 0.94609824 -14.029541 54.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94615431-0.94609824) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dl = 357.221970000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94615431-0.94609824) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dr = 357.221970000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24495756--0.24486168) × cos(0.94615431) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		do = 357.230175210192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24495756--0.24486168) × cos(0.94609824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58485240580328 × 6371000     		du = 357.257957666467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94615431)-sin(0.94609824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584806924279236-0.58485240580328)×R²
    abs(-0.24486168--0.24495756)×4.54815240437112e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54815240437112e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54815240437112e-05×40589641000000     		ar = 127615.429217707m²