Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30213 / 19955
↖ ↑ ↗
← N 57.365052°
W 14.035034°		 ← 329.42 m → N 57.365052°
W 14.029541°		 →
↑
329.44 m
↓
↑
329.44 m
↓
N 57.362090°
W 14.035034°		 ← 329.45 m →
108 531 m²		 N 57.362090°
W 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461021423339844 y=0.304496765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461021423339844 × 216)
    floor (0.461021423339844 × 65536)
    floor (30213.5)     		tx = 30213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304496765136719 × 216)
    floor (0.304496765136719 × 65536)
    floor (19955.5)     		ty = 19955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30213 / 19955 ti = "16/30213/19955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30213/19955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30213 ÷ 216
    30213 ÷ 65536     		x = 0.461013793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19955 ÷ 216
    19955 ÷ 65536     		y = 0.304489135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461013793945312 × 2 - 1) × π
    -0.077972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24495756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304489135742188 × 2 - 1) × π
    0.391021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22843098966356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24495756} λ = -0.24495756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22843098966356))-π/2
    2×atan(3.41586580076251)-π/2
    2×1.28600268301489-π/2
    2.57200536602978-1.57079632675     		φ = 1.00120904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24495756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.035034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00120904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.365052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30213 KachelY 19955 -0.24495756 1.00120904 -14.035034 57.365052
    Oben rechts KachelX + 1 30214 KachelY 19955 -0.24486168 1.00120904 -14.029541 57.365052
    Unten links KachelX 30213 KachelY + 1 19956 -0.24495756 1.00115733 -14.035034 57.362090
    Unten rechts KachelX + 1 30214 KachelY + 1 19956 -0.24486168 1.00115733 -14.029541 57.362090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00120904-1.00115733) × R
    5.17099999999271e-05 × 6371000     		dl = 329.444409999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00120904-1.00115733) × R
    5.17099999999271e-05 × 6371000     		dr = 329.444409999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24495756--0.24486168) × cos(1.00120904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539284539135641 × 6371000     		do = 329.422758872099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24495756--0.24486168) × cos(1.00115733) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539328084626839 × 6371000     		du = 329.449358699845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00120904)-sin(1.00115733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539284539135641-0.539328084626839)×R²
    abs(-0.24486168--0.24495756)×4.354549119856e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.354549119856e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.354549119856e-05×40589641000000     		ar = 108530.868043853m²