Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30212 / 39431
↖ ↑ ↗
← S 34.338900°
W 14.040527°		 ← 504.34 m → S 34.338900°
W 14.035034°		 →
↑
504.39 m
↓
↑
504.39 m
↓
S 34.343436°
W 14.040527°		 ← 504.31 m →
254 377 m²		 S 34.343436°
W 14.035034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461006164550781 y=0.601676940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461006164550781 × 216)
    floor (0.461006164550781 × 65536)
    floor (30212.5)     		tx = 30212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601676940917969 × 216)
    floor (0.601676940917969 × 65536)
    floor (39431.5)     		ty = 39431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30212 / 39431 ti = "16/30212/39431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30212/39431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30212 ÷ 216
    30212 ÷ 65536     		x = 0.46099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39431 ÷ 216
    39431 ÷ 65536     		y = 0.601669311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601669311523438 × 2 - 1) × π
    -0.203338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.638807124336868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24505343} λ = -0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638807124336868))-π/2
    2×atan(0.527921793648256)-π/2
    2×0.485734726654253-π/2
    0.971469453308507-1.57079632675     		φ = -0.59932687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59932687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.338900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30212 KachelY 39431 -0.24505343 -0.59932687 -14.040527 -34.338900
    Oben rechts KachelX + 1 30213 KachelY 39431 -0.24495756 -0.59932687 -14.035034 -34.338900
    Unten links KachelX 30212 KachelY + 1 39432 -0.24505343 -0.59940604 -14.040527 -34.343436
    Unten rechts KachelX + 1 30213 KachelY + 1 39432 -0.24495756 -0.59940604 -14.035034 -34.343436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59932687--0.59940604) × R
    7.91700000000173e-05 × 6371000     		dl = 504.39207000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59932687--0.59940604) × R
    7.91700000000173e-05 × 6371000     		dr = 504.39207000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24505343--0.24495756) × cos(-0.59932687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825715505687666 × 6371000     		do = 504.336932373381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24505343--0.24495756) × cos(-0.59940604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825670844349012 × 6371000     		du = 504.309653773939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59932687)-sin(-0.59940604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825715505687666-0.825670844349012)×R²
    abs(-0.24495756--0.24505343)×4.46613386546613e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46613386546613e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46613386546613e-05×40589641000000     		ar = 254376.669875904m²