Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30211 / 22020
↖ ↑ ↗
← N 75.842482°
W 97.023010°		 ← 74.70 m → N 75.842482°
W 97.020264°		 →
↑
74.73 m
↓
↑
74.73 m
↓
N 75.841810°
W 97.023010°		 ← 74.71 m →
5 583 m²		 N 75.841810°
W 97.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230495452880859 y=0.168003082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230495452880859 × 217)
    floor (0.230495452880859 × 131072)
    floor (30211.5)     		tx = 30211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168003082275391 × 217)
    floor (0.168003082275391 × 131072)
    floor (22020.5)     		ty = 22020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30211 / 22020 ti = "17/30211/22020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30211/22020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30211 ÷ 217
    30211 ÷ 131072     		x = 0.230491638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22020 ÷ 217
    22020 ÷ 131072     		y = 0.167999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230491638183594 × 2 - 1) × π
    -0.539016723632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.69337098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167999267578125 × 2 - 1) × π
    0.66400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08602212386636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69337098} λ = -1.69337098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08602212386636))-π/2
    2×atan(8.05281825432037)-π/2
    2×1.44724867231737-π/2
    2.89449734463473-1.57079632675     		φ = 1.32370102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69337098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.023010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32370102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.842482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30211 KachelY 22020 -1.69337098 1.32370102 -97.023010 75.842482
    Oben rechts KachelX + 1 30212 KachelY 22020 -1.69332304 1.32370102 -97.020264 75.842482
    Unten links KachelX 30211 KachelY + 1 22021 -1.69337098 1.32368929 -97.023010 75.841810
    Unten rechts KachelX + 1 30212 KachelY + 1 22021 -1.69332304 1.32368929 -97.020264 75.841810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32370102-1.32368929) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dl = 74.7318299999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32370102-1.32368929) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dr = 74.7318299999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69337098--1.69332304) × cos(1.32370102) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.244588526181578 × 6371000     		do = 74.7036316048148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69337098--1.69332304) × cos(1.32368929) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.24459989988906 × 6371000     		du = 74.707105427839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32370102)-sin(1.32368929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244588526181578-0.24459989988906)×R²
    abs(-1.69332304--1.69337098)×1.13737074820541e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.13737074820541e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.13737074820541e-05×40589641000000     		ar = 5582.86890009714m²