Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30211 / 20983
↖ ↑ ↗
← N 54.191369°
W 14.046020°		 ← 357.36 m → N 54.191369°
W 14.040527°		 →
↑
357.35 m
↓
↑
357.35 m
↓
N 54.188156°
W 14.046020°		 ← 357.39 m →
127 707 m²		 N 54.188156°
W 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460990905761719 y=0.320182800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460990905761719 × 216)
    floor (0.460990905761719 × 65536)
    floor (30211.5)     		tx = 30211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320182800292969 × 216)
    floor (0.320182800292969 × 65536)
    floor (20983.5)     		ty = 20983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30211 / 20983 ti = "16/30211/20983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30211/20983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30211 ÷ 216
    30211 ÷ 65536     		x = 0.460983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20983 ÷ 216
    20983 ÷ 65536     		y = 0.320175170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.078033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24514930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320175170898438 × 2 - 1) × π
    0.359649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12987272404472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24514930} λ = -0.24514930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12987272404472))-π/2
    2×atan(3.09526252255892)-π/2
    2×1.25830707575551-π/2
    2.51661415151103-1.57079632675     		φ = 0.94581782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24514930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.046020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94581782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.191369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30211 KachelY 20983 -0.24514930 0.94581782 -14.046020 54.191369
    Oben rechts KachelX + 1 30212 KachelY 20983 -0.24505343 0.94581782 -14.040527 54.191369
    Unten links KachelX 30211 KachelY + 1 20984 -0.24514930 0.94576173 -14.046020 54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 30212 KachelY + 1 20984 -0.24505343 0.94576173 -14.040527 54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94581782-0.94576173) × R
    5.60900000000641e-05 × 6371000     		dl = 357.349390000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94581782-0.94576173) × R
    5.60900000000641e-05 × 6371000     		dr = 357.349390000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24514930--0.24505343) × cos(0.94581782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58507984260866 × 6371000     		do = 357.359612338886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24514930--0.24505343) × cos(0.94576173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 357.387395062822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94581782)-sin(0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58507984260866-0.585125329315008)×R²
    abs(-0.24505343--0.24514930)×4.54867063486297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54867063486297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54867063486297e-05×40589641000000     		ar = 127707.203583656m²