Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30210 / 39426
↖ ↑ ↗
← S 34.316219°
W 14.051514°		 ← 504.53 m → S 34.316219°
W 14.046020°		 →
↑
504.46 m
↓
↑
504.46 m
↓
S 34.320755°
W 14.051514°		 ← 504.50 m →
254 504 m²		 S 34.320755°
W 14.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460975646972656 y=0.601600646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460975646972656 × 216)
    floor (0.460975646972656 × 65536)
    floor (30210.5)     		tx = 30210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601600646972656 × 216)
    floor (0.601600646972656 × 65536)
    floor (39426.5)     		ty = 39426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30210 / 39426 ti = "16/30210/39426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30210/39426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30210 ÷ 216
    30210 ÷ 65536     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39426 ÷ 216
    39426 ÷ 65536     		y = 0.601593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.20318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.638327755340668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638327755340668))-π/2
    2×atan(0.52817492365504)-π/2
    2×0.485932664615739-π/2
    0.971865329231479-1.57079632675     		φ = -0.59893100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59893100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.316219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30210 KachelY 39426 -0.24524518 -0.59893100 -14.051514 -34.316219
    Oben rechts KachelX + 1 30211 KachelY 39426 -0.24514930 -0.59893100 -14.046020 -34.316219
    Unten links KachelX 30210 KachelY + 1 39427 -0.24524518 -0.59901018 -14.051514 -34.320755
    Unten rechts KachelX + 1 30211 KachelY + 1 39427 -0.24514930 -0.59901018 -14.046020 -34.320755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59893100--0.59901018) × R
    7.91799999999565e-05 × 6371000     		dl = 504.455779999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59893100--0.59901018) × R
    7.91799999999565e-05 × 6371000     		dr = 504.455779999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(-0.59893100) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.825938746018144 × 6371000     		do = 504.525905394635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(-0.59901018) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.825894104922808 × 6371000     		du = 504.49863631548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59893100)-sin(-0.59901018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825938746018144-0.825894104922808)×R²
    abs(-0.24514930--0.24524518)×4.46410953355292e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.46410953355292e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.46410953355292e-05×40589641000000     		ar = 254504.131246724m²