Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30210 / 39423
↖ ↑ ↗
← S 34.302606°
W 14.051514°		 ← 504.61 m → S 34.302606°
W 14.046020°		 →
↑
504.58 m
↓
↑
504.58 m
↓
S 34.307144°
W 14.051514°		 ← 504.58 m →
254 610 m²		 S 34.307144°
W 14.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460975646972656 y=0.601554870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460975646972656 × 216)
    floor (0.460975646972656 × 65536)
    floor (30210.5)     		tx = 30210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601554870605469 × 216)
    floor (0.601554870605469 × 65536)
    floor (39423.5)     		ty = 39423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30210 / 39423 ti = "16/30210/39423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30210/39423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30210 ÷ 216
    30210 ÷ 65536     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39423 ÷ 216
    39423 ÷ 65536     		y = 0.601547241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601547241210938 × 2 - 1) × π
    -0.203094482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.638040133942947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638040133942947))-π/2
    2×atan(0.528326859913835)-π/2
    2×0.486051453073579-π/2
    0.972102906147157-1.57079632675     		φ = -0.59869342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59869342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.302606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30210 KachelY 39423 -0.24524518 -0.59869342 -14.051514 -34.302606
    Oben rechts KachelX + 1 30211 KachelY 39423 -0.24514930 -0.59869342 -14.046020 -34.302606
    Unten links KachelX 30210 KachelY + 1 39424 -0.24524518 -0.59877262 -14.051514 -34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 30211 KachelY + 1 39424 -0.24514930 -0.59877262 -14.046020 -34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59869342--0.59877262) × R
    7.9199999999946e-05 × 6371000     		dl = 504.583199999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59869342--0.59877262) × R
    7.9199999999946e-05 × 6371000     		dr = 504.583199999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(-0.59869342) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.826072660776376 × 6371000     		do = 504.607707422894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(-0.59877262) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 504.580440949312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59869342)-sin(-0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826072660776376-0.826028023946516)×R²
    abs(-0.24514930--0.24524518)×4.46368298600008e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.46368298600008e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.46368298600008e-05×40589641000000     		ar = 254609.692786832m²