Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30210 / 28165
↖ ↑ ↗
← N 24.502145°
W 14.051514°		 ← 555.84 m → N 24.502145°
W 14.046020°		 →
↑
555.81 m
↓
↑
555.81 m
↓
N 24.497146°
W 14.051514°		 ← 555.86 m →
308 946 m²		 N 24.497146°
W 14.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460975646972656 y=0.429771423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460975646972656 × 216)
    floor (0.460975646972656 × 65536)
    floor (30210.5)     		tx = 30210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429771423339844 × 216)
    floor (0.429771423339844 × 65536)
    floor (28165.5)     		ty = 28165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30210 / 28165 ti = "16/30210/28165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30210/28165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30210 ÷ 216
    30210 ÷ 65536     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28165 ÷ 216
    28165 ÷ 65536     		y = 0.429763793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429763793945312 × 2 - 1) × π
    0.140472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.441307097902237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441307097902237))-π/2
    2×atan(1.55473808584151)-π/2
    2×0.999219714555145-π/2
    1.99843942911029-1.57079632675     		φ = 0.42764310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42764310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.502145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30210 KachelY 28165 -0.24524518 0.42764310 -14.051514 24.502145
    Oben rechts KachelX + 1 30211 KachelY 28165 -0.24514930 0.42764310 -14.046020 24.502145
    Unten links KachelX 30210 KachelY + 1 28166 -0.24524518 0.42755586 -14.051514 24.497146
    Unten rechts KachelX + 1 30211 KachelY + 1 28166 -0.24514930 0.42755586 -14.046020 24.497146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42764310-0.42755586) × R
    8.72399999999884e-05 × 6371000     		dl = 555.806039999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42764310-0.42755586) × R
    8.72399999999884e-05 × 6371000     		dr = 555.806039999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(0.42764310) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.909945746918457 × 6371000     		do = 555.841706224963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24514930) × cos(0.42755586) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.9099819242658 × 6371000     		du = 555.86380521113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42764310)-sin(0.42755586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909945746918457-0.9099819242658)×R²
    abs(-0.24514930--0.24524518)×3.61773473427363e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.61773473427363e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.61773473427363e-05×40589641000000     		ar = 308946.319174648m²