Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30210 / 22019
↖ ↑ ↗
← N 75.843153°
W 97.025757°		 ← 74.70 m → N 75.843153°
W 97.023010°		 →
↑
74.67 m
↓
↑
74.67 m
↓
N 75.842482°
W 97.025757°		 ← 74.70 m →
5 578 m²		 N 75.842482°
W 97.023010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230487823486328 y=0.167995452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230487823486328 × 217)
    floor (0.230487823486328 × 131072)
    floor (30210.5)     		tx = 30210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167995452880859 × 217)
    floor (0.167995452880859 × 131072)
    floor (22019.5)     		ty = 22019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30210 / 22019 ti = "17/30210/22019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30210/22019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30210 ÷ 217
    30210 ÷ 131072     		x = 0.230484008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22019 ÷ 217
    22019 ÷ 131072     		y = 0.167991638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230484008789062 × 2 - 1) × π
    -0.539031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69341892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167991638183594 × 2 - 1) × π
    0.664016723632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.08607006076598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69341892} λ = -1.69341892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08607006076598))-π/2
    2×atan(8.0532042907133)-π/2
    2×1.44725453458899-π/2
    2.89450906917797-1.57079632675     		φ = 1.32371274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69341892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.025757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32371274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.843153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30210 KachelY 22019 -1.69341892 1.32371274 -97.025757 75.843153
    Oben rechts KachelX + 1 30211 KachelY 22019 -1.69337098 1.32371274 -97.023010 75.843153
    Unten links KachelX 30210 KachelY + 1 22020 -1.69341892 1.32370102 -97.025757 75.842482
    Unten rechts KachelX + 1 30211 KachelY + 1 22020 -1.69337098 1.32370102 -97.023010 75.842482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32371274-1.32370102) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dl = 74.6681200003081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32371274-1.32370102) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dr = 74.6681200003081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69341892--1.69337098) × cos(1.32371274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24457716213674 × 6371000     		do = 74.7001607326649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69341892--1.69337098) × cos(1.32370102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244588526181578 × 6371000     		du = 74.7036316044688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32371274)-sin(1.32370102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24457716213674-0.244588526181578)×R²
    abs(-1.69337098--1.69341892)×1.1364044837453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1364044837453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1364044837453e-05×40589641000000     		ar = 5577.85014748542m²