Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30209 / 39425
↖ ↑ ↗
← S 34.311681°
W 14.057007°		 ← 504.50 m → S 34.311681°
W 14.051514°		 →
↑
504.52 m
↓
↑
504.52 m
↓
S 34.316219°
W 14.057007°		 ← 504.47 m →
254 523 m²		 S 34.316219°
W 14.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460960388183594 y=0.601585388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460960388183594 × 216)
    floor (0.460960388183594 × 65536)
    floor (30209.5)     		tx = 30209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601585388183594 × 216)
    floor (0.601585388183594 × 65536)
    floor (39425.5)     		ty = 39425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30209 / 39425 ti = "16/30209/39425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30209/39425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30209 ÷ 216
    30209 ÷ 65536     		x = 0.460952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39425 ÷ 216
    39425 ÷ 65536     		y = 0.601577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.203155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638231881541428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24534105} λ = -0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638231881541428))-π/2
    2×atan(0.528225564219147)-π/2
    2×0.485972258628539-π/2
    0.971944517257078-1.57079632675     		φ = -0.59885181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59885181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.311681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30209 KachelY 39425 -0.24534105 -0.59885181 -14.057007 -34.311681
    Oben rechts KachelX + 1 30210 KachelY 39425 -0.24524518 -0.59885181 -14.051514 -34.311681
    Unten links KachelX 30209 KachelY + 1 39426 -0.24534105 -0.59893100 -14.057007 -34.316219
    Unten rechts KachelX + 1 30210 KachelY + 1 39426 -0.24524518 -0.59893100 -14.051514 -34.316219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59885181--0.59893100) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dl = 504.519490000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59885181--0.59893100) × R
    7.91900000000068e-05 × 6371000     		dr = 504.519490000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24534105--0.24524518) × cos(-0.59885181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825983387572224 × 6371000     		do = 504.500551352273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24534105--0.24524518) × cos(-0.59893100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825938746018144 × 6371000     		du = 504.473284837007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59885181)-sin(-0.59893100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825983387572224-0.825938746018144)×R²
    abs(-0.24524518--0.24534105)×4.4641554080016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4641554080016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4641554080016e-05×40589641000000     		ar = 254523.482761699m²