Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30207 / 19972
↖ ↑ ↗
← N 57.314657°
W 14.067993°		 ← 329.84 m → N 57.314657°
W 14.062500°		 →
↑
329.89 m
↓
↑
329.89 m
↓
N 57.311691°
W 14.067993°		 ← 329.87 m →
108 816 m²		 N 57.311691°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460929870605469 y=0.304756164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460929870605469 × 216)
    floor (0.460929870605469 × 65536)
    floor (30207.5)     		tx = 30207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304756164550781 × 216)
    floor (0.304756164550781 × 65536)
    floor (19972.5)     		ty = 19972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30207 / 19972 ti = "16/30207/19972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30207/19972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30207 ÷ 216
    30207 ÷ 65536     		x = 0.460922241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19972 ÷ 216
    19972 ÷ 65536     		y = 0.30474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460922241210938 × 2 - 1) × π
    -0.078155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24553280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30474853515625 × 2 - 1) × π
    0.3905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22680113507648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24553280} λ = -0.24553280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22680113507648))-π/2
    2×atan(3.41030297075172)-π/2
    2×1.28556290364295-π/2
    2.57112580728589-1.57079632675     		φ = 1.00032948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24553280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00032948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.314657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30207 KachelY 19972 -0.24553280 1.00032948 -14.067993 57.314657
    Oben rechts KachelX + 1 30208 KachelY 19972 -0.24543693 1.00032948 -14.062500 57.314657
    Unten links KachelX 30207 KachelY + 1 19973 -0.24553280 1.00027770 -14.067993 57.311691
    Unten rechts KachelX + 1 30208 KachelY + 1 19973 -0.24543693 1.00027770 -14.062500 57.311691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00032948-1.00027770) × R
    5.17799999999458e-05 × 6371000     		dl = 329.890379999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00032948-1.00027770) × R
    5.17799999999458e-05 × 6371000     		dr = 329.890379999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24553280--0.24543693) × cos(1.00032948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540025028686264 × 6371000     		do = 329.840683015462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24553280--0.24543693) × cos(1.00027770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540068608545337 × 6371000     		du = 329.867301060402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00032948)-sin(1.00027770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540025028686264-0.540068608545337)×R²
    abs(-0.24543693--0.24553280)×4.35798590732173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35798590732173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35798590732173e-05×40589641000000     		ar = 108815.658802138m²