Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30206 / 20094
↖ ↑ ↗
← N 56.950966°
W 14.073486°		 ← 333.10 m → N 56.950966°
W 14.067993°		 →
↑
333.14 m
↓
↑
333.14 m
↓
N 56.947970°
W 14.073486°		 ← 333.12 m →
110 972 m²		 N 56.947970°
W 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460914611816406 y=0.306617736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460914611816406 × 216)
    floor (0.460914611816406 × 65536)
    floor (30206.5)     		tx = 30206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306617736816406 × 216)
    floor (0.306617736816406 × 65536)
    floor (20094.5)     		ty = 20094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30206 / 20094 ti = "16/30206/20094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30206/20094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30206 ÷ 216
    30206 ÷ 65536     		x = 0.460906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20094 ÷ 216
    20094 ÷ 65536     		y = 0.306610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306610107421875 × 2 - 1) × π
    0.38677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21510453156918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24562867} λ = -0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21510453156918))-π/2
    2×atan(3.37064638486275)-π/2
    2×1.28238909895585-π/2
    2.56477819791171-1.57079632675     		φ = 0.99398187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99398187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.950966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30206 KachelY 20094 -0.24562867 0.99398187 -14.073486 56.950966
    Oben rechts KachelX + 1 30207 KachelY 20094 -0.24553280 0.99398187 -14.067993 56.950966
    Unten links KachelX 30206 KachelY + 1 20095 -0.24562867 0.99392958 -14.073486 56.947970
    Unten rechts KachelX + 1 30207 KachelY + 1 20095 -0.24553280 0.99392958 -14.067993 56.947970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99398187-0.99392958) × R
    5.22900000000659e-05 × 6371000     		dl = 333.13959000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99398187-0.99392958) × R
    5.22900000000659e-05 × 6371000     		dr = 333.13959000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24562867--0.24553280) × cos(0.99398187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		do = 333.097124957025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24562867--0.24553280) × cos(0.99392958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		du = 333.123895143518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99398187)-sin(0.99392958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545356572802748-0.545400401752518)×R²
    abs(-0.24553280--0.24562867)×4.38289497709521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38289497709521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38289497709521e-05×40589641000000     		ar = 110972.298768126m²