Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30204 / 20075
↖ ↑ ↗
← N 57.007842°
W 14.084473°		 ← 332.59 m → N 57.007842°
W 14.078980°		 →
↑
332.63 m
↓
↑
332.63 m
↓
N 57.004850°
W 14.084473°		 ← 332.62 m →
110 633 m²		 N 57.004850°
W 14.078980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460884094238281 y=0.306327819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460884094238281 × 216)
    floor (0.460884094238281 × 65536)
    floor (30204.5)     		tx = 30204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306327819824219 × 216)
    floor (0.306327819824219 × 65536)
    floor (20075.5)     		ty = 20075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30204 / 20075 ti = "16/30204/20075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30204/20075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30204 ÷ 216
    30204 ÷ 65536     		x = 0.46087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20075 ÷ 216
    20075 ÷ 65536     		y = 0.306320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306320190429688 × 2 - 1) × π
    0.387359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21692613375475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24582042} λ = -0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21692613375475))-π/2
    2×atan(3.37679195737896)-π/2
    2×1.28288543122089-π/2
    2.56577086244177-1.57079632675     		φ = 0.99497454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99497454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.007842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30204 KachelY 20075 -0.24582042 0.99497454 -14.084473 57.007842
    Oben rechts KachelX + 1 30205 KachelY 20075 -0.24572455 0.99497454 -14.078980 57.007842
    Unten links KachelX 30204 KachelY + 1 20076 -0.24582042 0.99492233 -14.084473 57.004850
    Unten rechts KachelX + 1 30205 KachelY + 1 20076 -0.24572455 0.99492233 -14.078980 57.004850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99497454-0.99492233) × R
    5.2209999999997e-05 × 6371000     		dl = 332.629909999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99497454-0.99492233) × R
    5.2209999999997e-05 × 6371000     		dr = 332.629909999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24582042--0.24572455) × cos(0.99497454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544524244123602 × 6371000     		do = 332.588748779184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24582042--0.24572455) × cos(0.99492233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544568034263248 × 6371000     		du = 332.615495260925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99497454)-sin(0.99492233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544524244123602-0.544568034263248)×R²
    abs(-0.24572455--0.24582042)×4.37901396451723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37901396451723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37901396451723e-05×40589641000000     		ar = 110633.41393857m²