Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30204 / 19960
↖ ↑ ↗
← N 57.350237°
W 14.084473°		 ← 329.52 m → N 57.350237°
W 14.078980°		 →
↑
329.57 m
↓
↑
329.57 m
↓
N 57.347274°
W 14.084473°		 ← 329.55 m →
108 605 m²		 N 57.347274°
W 14.078980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460884094238281 y=0.304573059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460884094238281 × 216)
    floor (0.460884094238281 × 65536)
    floor (30204.5)     		tx = 30204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304573059082031 × 216)
    floor (0.304573059082031 × 65536)
    floor (19960.5)     		ty = 19960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30204 / 19960 ti = "16/30204/19960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30204/19960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30204 ÷ 216
    30204 ÷ 65536     		x = 0.46087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19960 ÷ 216
    19960 ÷ 65536     		y = 0.3045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3045654296875 × 2 - 1) × π
    0.390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22795162066736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24582042} λ = -0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22795162066736))-π/2
    2×atan(3.41422873301355)-π/2
    2×1.28587339877859-π/2
    2.57174679755718-1.57079632675     		φ = 1.00095047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00095047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.350237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30204 KachelY 19960 -0.24582042 1.00095047 -14.084473 57.350237
    Oben rechts KachelX + 1 30205 KachelY 19960 -0.24572455 1.00095047 -14.078980 57.350237
    Unten links KachelX 30204 KachelY + 1 19961 -0.24582042 1.00089874 -14.084473 57.347274
    Unten rechts KachelX + 1 30205 KachelY + 1 19961 -0.24572455 1.00089874 -14.078980 57.347274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00095047-1.00089874) × R
    5.17300000000276e-05 × 6371000     		dl = 329.571830000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00095047-1.00089874) × R
    5.17300000000276e-05 × 6371000     		dr = 329.571830000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24582042--0.24572455) × cos(1.00095047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.539502269008929 × 6371000     		do = 329.521387797896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24582042--0.24572455) × cos(1.00089874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.539545824126918 × 6371000     		du = 329.547990731285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00095047)-sin(1.00089874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539502269008929-0.539545824126918)×R²
    abs(-0.24572455--0.24582042)×4.3555117989369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3555117989369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3555117989369e-05×40589641000000     		ar = 108605.350613584m²