Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30203 / 28163
↖ ↑ ↗
← N 24.512142°
W 14.089966°		 ← 555.80 m → N 24.512142°
W 14.084473°		 →
↑
555.81 m
↓
↑
555.81 m
↓
N 24.507143°
W 14.089966°		 ← 555.82 m →
308 922 m²		 N 24.507143°
W 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460868835449219 y=0.429740905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460868835449219 × 216)
    floor (0.460868835449219 × 65536)
    floor (30203.5)     		tx = 30203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429740905761719 × 216)
    floor (0.429740905761719 × 65536)
    floor (28163.5)     		ty = 28163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30203 / 28163 ti = "16/30203/28163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30203/28163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30203 ÷ 216
    30203 ÷ 65536     		x = 0.460861206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28163 ÷ 216
    28163 ÷ 65536     		y = 0.429733276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460861206054688 × 2 - 1) × π
    -0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429733276367188 × 2 - 1) × π
    0.140533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441498845500717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24591630} λ = -0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441498845500717))-π/2
    2×atan(1.5550362317192)-π/2
    2×0.999306951041771-π/2
    1.99861390208354-1.57079632675     		φ = 0.42781758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42781758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.512142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30203 KachelY 28163 -0.24591630 0.42781758 -14.089966 24.512142
    Oben rechts KachelX + 1 30204 KachelY 28163 -0.24582042 0.42781758 -14.084473 24.512142
    Unten links KachelX 30203 KachelY + 1 28164 -0.24591630 0.42773034 -14.089966 24.507143
    Unten rechts KachelX + 1 30204 KachelY + 1 28164 -0.24582042 0.42773034 -14.084473 24.507143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42781758-0.42773034) × R
    8.72399999999884e-05 × 6371000     		dl = 555.806039999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42781758-0.42773034) × R
    8.72399999999884e-05 × 6371000     		dr = 555.806039999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24591630--0.24582042) × cos(0.42781758) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909873371447753 × 6371000     		do = 555.797495561407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24591630--0.24582042) × cos(0.42773034) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909909562645683 × 6371000     		du = 555.819603008225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42781758)-sin(0.42773034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909873371447753-0.909909562645683)×R²
    abs(-0.24582042--0.24591630)×3.61911979295249e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61911979295249e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61911979295249e-05×40589641000000     		ar = 308921.748971887m²