Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30203 / 20971
↖ ↑ ↗
← N 54.229919°
W 14.089966°		 ← 357.06 m → N 54.229919°
W 14.084473°		 →
↑
357.09 m
↓
↑
357.09 m
↓
N 54.226708°
W 14.089966°		 ← 357.09 m →
127 510 m²		 N 54.226708°
W 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460868835449219 y=0.319999694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460868835449219 × 216)
    floor (0.460868835449219 × 65536)
    floor (30203.5)     		tx = 30203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319999694824219 × 216)
    floor (0.319999694824219 × 65536)
    floor (20971.5)     		ty = 20971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30203 / 20971 ti = "16/30203/20971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30203/20971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30203 ÷ 216
    30203 ÷ 65536     		x = 0.460861206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20971 ÷ 216
    20971 ÷ 65536     		y = 0.319992065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460861206054688 × 2 - 1) × π
    -0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319992065429688 × 2 - 1) × π
    0.360015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1310232096356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24591630} λ = -0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1310232096356))-π/2
    2×atan(3.09882562674812)-π/2
    2×1.25864348173167-π/2
    2.51728696346335-1.57079632675     		φ = 0.94649064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94649064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.229919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30203 KachelY 20971 -0.24591630 0.94649064 -14.089966 54.229919
    Oben rechts KachelX + 1 30204 KachelY 20971 -0.24582042 0.94649064 -14.084473 54.229919
    Unten links KachelX 30203 KachelY + 1 20972 -0.24591630 0.94643459 -14.089966 54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 30204 KachelY + 1 20972 -0.24582042 0.94643459 -14.084473 54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94649064-0.94643459) × R
    5.60500000000852e-05 × 6371000     		dl = 357.094550000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94649064-0.94643459) × R
    5.60500000000852e-05 × 6371000     		dr = 357.094550000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24591630--0.24582042) × cos(0.94649064) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58453406955382 × 6371000     		do = 357.063501497346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24591630--0.24582042) × cos(0.94643459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 357.091280776846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94649064)-sin(0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58453406955382-0.584579545877294)×R²
    abs(-0.24582042--0.24591630)×4.54763234745137e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54763234745137e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54763234745137e-05×40589641000000     		ar = 127510.390336776m²